Convergenza successioni di funzioni
Ciao a tutti
devo studiare la convergenza puntuale e uniforme di $f_n(x)=(nx)/[(1+nx)(1+x^2)]$ nell'intervallo $[0,+ oo) $
La convergenza puntuale: $ lim_(n) f_n(x) =(1/(1+x^2)) $se $x!=0 $ e $ lim_(n) f_n(x) =0$ se $x=0$
Adesso studio la convergenza uniforme facendo il $ lim_(n) (text{sup})|(nx)/[(1+nx)(1+x^2)]-1/(1+x^2)| $ se $x!=0$ , devo prima trovare il sup della funzione, faccio la derivata di $(nx)/[(1+nx)(1+x^2)]-1/(1+x^2)$ dalla quale vedo facilmente che la funzione è sempre crescente.
In generale se la funzione ammette $text(max)$ posso prendere il $text(max)$ trovato dallo studio della derivata e sostituirlo nell'espressione $ lim_(n) text(sup)|f_n(x)-fx|$ se il limite è 0 allora convergerà uniformemente.
In questo caso la funzione non ammette $text(max)$ ma sicuramente $text(sup)$ essendo monotona crescente.
Quello che non capisco è come fare a calcolare il limite in questo caso.
Ho visto che alcuni di questi esercizi si risolvono prendendo un intervallo più piccolo di $[0,+ oo) $ del tipo $[k+ oo) $ nel quale si va a studiare la convergenza uniforme ma non ho capito perchè lo si fa....
Sarei grato se qualcuno mi spiegasse un pò tutto ciò.
Grazie anticipate
devo studiare la convergenza puntuale e uniforme di $f_n(x)=(nx)/[(1+nx)(1+x^2)]$ nell'intervallo $[0,+ oo) $
La convergenza puntuale: $ lim_(n) f_n(x) =(1/(1+x^2)) $se $x!=0 $ e $ lim_(n) f_n(x) =0$ se $x=0$
Adesso studio la convergenza uniforme facendo il $ lim_(n) (text{sup})|(nx)/[(1+nx)(1+x^2)]-1/(1+x^2)| $ se $x!=0$ , devo prima trovare il sup della funzione, faccio la derivata di $(nx)/[(1+nx)(1+x^2)]-1/(1+x^2)$ dalla quale vedo facilmente che la funzione è sempre crescente.
In generale se la funzione ammette $text(max)$ posso prendere il $text(max)$ trovato dallo studio della derivata e sostituirlo nell'espressione $ lim_(n) text(sup)|f_n(x)-fx|$ se il limite è 0 allora convergerà uniformemente.
In questo caso la funzione non ammette $text(max)$ ma sicuramente $text(sup)$ essendo monotona crescente.
Quello che non capisco è come fare a calcolare il limite in questo caso.
Ho visto che alcuni di questi esercizi si risolvono prendendo un intervallo più piccolo di $[0,+ oo) $ del tipo $[k+ oo) $ nel quale si va a studiare la convergenza uniforme ma non ho capito perchè lo si fa....
Sarei grato se qualcuno mi spiegasse un pò tutto ciò.
Grazie anticipate
Risposte
Nessuna idea?
[La convergenza non può essere uniforme su $[0,+\infty)$, altrimenti il limite dovrebbe essere una funzione continua.]
Per $x>0$ puoi scriverti la differenza
$g_n(x) := |f_n(x) - f(x)| = \frac{1}{1+x^2}\cdot \frac{1}{1+nx}$.
Osserva che ciascuna delle due frazione è una funzione positiva monotona decrescente in $x$ su $(0,+\infty)$.
Da questa espressione vedi che non puoi avere convergenza uniforme su nessun insieme contenente un intorno destro dell'origine, poiché
$g_n(1/n) = \frac{1}{1+1/n^2}\cdot 1/2 \to 1/2$ per $n\to +\infty$,
o anche, se preferisci,
$"sup"_{x>0} g_n(x) = 1$.
D'altra parte, su semirette del tipo $[a, +\infty)$, con $a>0$, hai che
$"sup"_{x\ge a} g_n(x) = 1/(1+a^2) 1/(1+na) \to 0$ per $n\to +\infty$,
quindi la convergenza è uniforme su tali semirette.
Per $x>0$ puoi scriverti la differenza
$g_n(x) := |f_n(x) - f(x)| = \frac{1}{1+x^2}\cdot \frac{1}{1+nx}$.
Osserva che ciascuna delle due frazione è una funzione positiva monotona decrescente in $x$ su $(0,+\infty)$.
Da questa espressione vedi che non puoi avere convergenza uniforme su nessun insieme contenente un intorno destro dell'origine, poiché
$g_n(1/n) = \frac{1}{1+1/n^2}\cdot 1/2 \to 1/2$ per $n\to +\infty$,
o anche, se preferisci,
$"sup"_{x>0} g_n(x) = 1$.
D'altra parte, su semirette del tipo $[a, +\infty)$, con $a>0$, hai che
$"sup"_{x\ge a} g_n(x) = 1/(1+a^2) 1/(1+na) \to 0$ per $n\to +\infty$,
quindi la convergenza è uniforme su tali semirette.
"Rigel":
[La convergenza non può essere uniforme su $[0,+\infty)$, altrimenti il limite dovrebbe essere una funzione continua.]
Perchè la funzione limite assume valori diversi nell'intervallo considerato giusto?
"Rigel":
[Per $x>0$ puoi scriverti la differenza
$g_n(x) := |f_n(x) - f(x)| = \frac{1}{1+x^2}\cdot \frac{1}{1+nx}$.]
Perchè?non lo capisco, per $x>0$ $f(x)= 1/(1+x^2)$ quindi non dovrebbe essere $g_n(x) := |f_n(x) - f(x)| = \frac{1}{1+x^2}\cdot \frac{1}{1+nx}- 1/(1+x^2)= -1/[(1+nx)(1+x^2)]$.?
E poi volevo capire una cosa:
Se la funzione è crescente allora esisterà il sup, nel caso di una funzione continua per ogni x il $text(sup)$ si ottiene andando a sostituire $+oo $ nell'espressione?
Nel mio caso ad esempio $g_n(x)=-1/[(1+nx)(1+x^2)]$ e $ g_n'(x)=(2x+n+3nx^2)/[(1+nx)(1+x^2)]^2$ che è sempre crescente, significa che per trovare il $text(sup)$ devo fare il $ lim_(x -> +oo ) $ $ -1/[(1+nx)(1+x^2)]=0$ di conseguenza anche $ lim_(n) $ $text(sup)$$|-1/[(1+nx)(1+x^2)]|$sarà 0 e allora avrò la convergenza uniforme per $x>0$ visto che la sto studiando in questo intervallo, tuttavia, in 0 non ho la convergenza uniforme e lo vedo perchè la funzione limite non è continua, ed eventualmente se sostituisco lo 0 a
$-1/[(1+nx)(1+x^2)]$ ottengo $-1$, quindi devo spostarmi dallo 0, qualsiasi valore da $[k,+ oo) $ con $k>0$ arbitrariamente piccolo avrò la convergenza uniforme.
E' giusto il ragionamento?
"V1ncy":
Perchè?non lo capisco, per $x>0$ $f(x)= 1/(1+x^2)$ quindi non dovrebbe essere $g_n(x) := |f_n(x) - f(x)| = \frac{1}{1+x^2}\cdot \frac{1}{1+nx}- 1/(1+x^2)= -1/[(1+nx)(1+x^2)]$.?
Ti sei perso il valore assoluto. Dovresti accorgertene dal fatto che, per $x>0$, l'ultima espressione è negativa.
E poi volevo capire una cosa:
Se la funzione è crescente allora esisterà il sup, nel caso di una funzione continua per ogni x il $text(sup)$ si ottiene andando a sostituire $+oo $ nell'espressione?
Se hai una funzione monotona crescente su $(0,+\infty)$, puoi calcolarne l'estremo superiore facendo il limite per $x\to +\infty$ (non "andando a sostituire").
In questo caso la funzione è monotona decrescente (quando ci metti il segno giusto), quindi il sup lo calcoli facendo il limite per $x\to 0^+$.
Se ho ben capito essendo in questo caso la funzione decrescente il $text(sup)$ lo ottengo facendo $ lim_(x -> 0^+) $ $1/[(1+nx)(1+x^2)]= 1$ cioè non converge uniformemente in$ [0, +oo) $ , tuttavia se restringo l'intervallo, considerando il seguente: $[k,+ oo ) $
allora $k$ rappresenta il mio nuovo punto di $max$ cioè posso fare $ lim_(x -> k) $ $1/[(1+nx)(1+x^2)] = 1/[(1+nk)(1+k^2)]$
e $ lim_(n)1/[(1+nk)(1+k^2)]=0 $ significa che converge uniformemente nell'intervallo $[k,+oo)$
Giusto?
allora $k$ rappresenta il mio nuovo punto di $max$ cioè posso fare $ lim_(x -> k) $ $1/[(1+nx)(1+x^2)] = 1/[(1+nk)(1+k^2)]$
e $ lim_(n)1/[(1+nk)(1+k^2)]=0 $ significa che converge uniformemente nell'intervallo $[k,+oo)$
Giusto?
Sì (nel secondo caso non c'è bisogno del limite, basta valutare in $x=k$).
ok grazie mille 
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