Convergenza successioni
Cari ragazzi,
scrivo a voi perché ho un dubbio che non riesco a chiarire. Ho una successione $x_n$ che converge su uno spazio metrico $X$. Se questa $x_n$ converge secondo una distanza $d$ allora la stessa successione deve convergere secondo un'altra qualsiasi distanza?
Io direi di no, ma non riesco a spiegare il perché.
Vi ringrazio anticipatamente.
scrivo a voi perché ho un dubbio che non riesco a chiarire. Ho una successione $x_n$ che converge su uno spazio metrico $X$. Se questa $x_n$ converge secondo una distanza $d$ allora la stessa successione deve convergere secondo un'altra qualsiasi distanza?
Io direi di no, ma non riesco a spiegare il perché.
Vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
Le proprietà di convergenza dipendono dalla topologia, perciò se sai che $x_n$ converge secondo una distanza $d$, di sicuro convergerà secondo ogni distanza topologicamente equivalente a $d$.
In generale, se prendi una distanza $d_1$ non topologicamente equivalente a $d$, ad esempio che induce una topologia più fine, puoi trovare successioni che convergono secondo $d$ ma non secondo $d_1$. Ad esempio prova a pensare cosa succede su $\RR^n$ se prendi $d$ distanza euclidea e $d_1$ metrica discreta.
In generale, se prendi una distanza $d_1$ non topologicamente equivalente a $d$, ad esempio che induce una topologia più fine, puoi trovare successioni che convergono secondo $d$ ma non secondo $d_1$. Ad esempio prova a pensare cosa succede su $\RR^n$ se prendi $d$ distanza euclidea e $d_1$ metrica discreta.
No.
Ad esempio la successione di elementi di \(u_n\in C([0,1])\) definiti ponendo:
\[
u_n(x):=\begin{cases} 1 &\text{, se } 1/n\leq x\leq 1\\
nx & \text{, se } 0\leq x<1/n
\end{cases}
\]
converge in norma \(L^2\) alla funzione \(u(x)=1\), poiché è semplice mostrare che \(\lim_n \int_0^1 |u_n-u|^2\ \text{d} x =0\); però essa non converge in norma \(L^\infty\), poiché \(\max_{[0,1]} |u_n-u| =1\).
Ad esempio la successione di elementi di \(u_n\in C([0,1])\) definiti ponendo:
\[
u_n(x):=\begin{cases} 1 &\text{, se } 1/n\leq x\leq 1\\
nx & \text{, se } 0\leq x<1/n
\end{cases}
\]
converge in norma \(L^2\) alla funzione \(u(x)=1\), poiché è semplice mostrare che \(\lim_n \int_0^1 |u_n-u|^2\ \text{d} x =0\); però essa non converge in norma \(L^\infty\), poiché \(\max_{[0,1]} |u_n-u| =1\).
Vi ringrazio ragazzi!
Ora mi chiedo però un'altra cosa. Se due metriche $d_1$ e $d_2$ sono equivalenti su un insieme $X$ una successione $x_n$ converge verso $x\in X$ secondo la metrica $d_1$ se e solo se la stessa successione converge verso $x\in X$ secondo la metrica $d_2$.
Ma assunto che se la successione converge verso $x$ secondo $d_1$ se e solo se converge verso $x$ secondo $d_2$ posso dire che le distanze sono equivalenti?
Ora mi chiedo però un'altra cosa. Se due metriche $d_1$ e $d_2$ sono equivalenti su un insieme $X$ una successione $x_n$ converge verso $x\in X$ secondo la metrica $d_1$ se e solo se la stessa successione converge verso $x\in X$ secondo la metrica $d_2$.
Ma assunto che se la successione converge verso $x$ secondo $d_1$ se e solo se converge verso $x$ secondo $d_2$ posso dire che le distanze sono equivalenti?
si..perché i chiusi di una topologia vengono definiti dalle convergenze.
In sostanza dare la famiglia dei chiusi di una topologia è equivalente a dare la famiglia delle successioni convergenti..
In sostanza dare la famiglia dei chiusi di una topologia è equivalente a dare la famiglia delle successioni convergenti..
"Stat_Math":
Ma assunto che se la successione converge verso $x$ secondo $d_1$ se e solo se converge verso $x$ secondo $d_2$ posso dire che le distanze sono equivalenti?
"Pappappero":
si..perché i chiusi di una topologia vengono definiti dalle convergenze.
In sostanza dare la famiglia dei chiusi di una topologia è equivalente a dare la famiglia delle successioni convergenti..
Mmmhhh... Però mi sfugge una cosa: qui si sta parlando del caso generale degli spazi metrici, e due metriche diverse, pure se non equivalenti, possono tranquillamente indurre la medesima topologia.
Esempio. Consideriamo su \(\mathbb{R}\) la distanza usuale \(d(x, y)=\lvert x-y\rvert\) e la distanza alternativa \(d'(x, y)=\min\big( \lvert x-y \rvert, 1\big)\). Queste due distanze inducono la stessa topologia ma non sono equivalenti perché non esiste alcuna costante \(C\) tale che
\[d(x, y)\le C d'(x, y), \qquad \forall x, y \in\mathbb{R}\]
difatti, fissando \(x=0\) e scegliendo \(y_n=n\), il membro sinistro di questa disuguaglianza diverge mentre il membro destro resta limitato.
In conclusione io reputo che non sia vero che avere le medesime successioni convergenti sia condizione sufficiente all'equivalenza di due distanze. Condizione necessaria è certamente, senza dubbio, ma condizione sufficiente no.
( Il discorso cambia se parliamo di spazi normati, e di distanze indotte da norme: in quel caso credo che la condizione sia necessaria e anche sufficiente all'equivalenza delle due norme. )
Due metriche si dicono topologicamente equivalenti quando inducono la stessa topologia. Mi sono dimenticato quel topologicamente che faceva cambiare le cose.
Per quanto riguarda le successioni, quando ho studiato topologia avevo studiato che dare le convergenze è di fatto equivalente a dare una topologia di chiusi. In realtà durante il corso non si era fatta grossa distinzione tra i chiusi e i sequenzialmente chiusi: tuttora non ho ben chiaro quali siano le ipotesi minime per garantire che chiuso e chiuso per successioni siano due condizioni equivalenti, ma immagino che la cosa sia abbondantemente soddisfatta negli spazi metrici.
Dunque le convergenze definiscono i chiusi (cioè quegli insiemi che sono chiusi per successioni). Due distanze che definiscono le stesse convergenze definiscono anche la stessa topologia, e quindi sono "topologicamente" equivalenti. Per quanto riguarda l'equivalenza intesa come condizione delle costanti moltiplicative, evidentemente non è vero: l'esempio di dissonance chiarisce bene questo punto. Un altro esempio interessante, se non ricordo male, è quello dato dalla distanza su $\RR$:
$d(x,y)=arctan(|x-y|)$
Questa distanza induce la stessa topologia della distanza euclidea (esiste un isometria tra $(-1,1)$ con la metrica euclidea e $\RR$ con la metrica $d$) ma chiaramente non esiste alcuna costante che permetta di controllare la metrica euclidea con la distanza $d$.
Per quanto riguarda le successioni, quando ho studiato topologia avevo studiato che dare le convergenze è di fatto equivalente a dare una topologia di chiusi. In realtà durante il corso non si era fatta grossa distinzione tra i chiusi e i sequenzialmente chiusi: tuttora non ho ben chiaro quali siano le ipotesi minime per garantire che chiuso e chiuso per successioni siano due condizioni equivalenti, ma immagino che la cosa sia abbondantemente soddisfatta negli spazi metrici.
Dunque le convergenze definiscono i chiusi (cioè quegli insiemi che sono chiusi per successioni). Due distanze che definiscono le stesse convergenze definiscono anche la stessa topologia, e quindi sono "topologicamente" equivalenti. Per quanto riguarda l'equivalenza intesa come condizione delle costanti moltiplicative, evidentemente non è vero: l'esempio di dissonance chiarisce bene questo punto. Un altro esempio interessante, se non ricordo male, è quello dato dalla distanza su $\RR$:
$d(x,y)=arctan(|x-y|)$
Questa distanza induce la stessa topologia della distanza euclidea (esiste un isometria tra $(-1,1)$ con la metrica euclidea e $\RR$ con la metrica $d$) ma chiaramente non esiste alcuna costante che permetta di controllare la metrica euclidea con la distanza $d$.
Dopo l'aggiunta di quel "topologicamente" sono completamente d'accordo con te.
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