Convergenza Successione geometrica
Salve a tutti, sto incontrando difficoltà nel valutare la convergenza uniforme della successione \[ f_n(x)=[\sqrt{2e}\frac{x}{e^{x^2}}]^n \].
il limite puntuale dovrebbe essere \[ \lim_{n \to \infty}f_n(x)= \begin{cases}+\infty & \sqrt{2e}\frac{x}{e^{x^2}}>1\\
1 & \sqrt{2e}\frac{x}{e^{x^2}} = 1\\0 & -1 < \sqrt{2e}\frac{x}{e^{x^2}}<1\\ \nexists & \sqrt{2e}\frac{x}{e^{x^2}} \le -1\end{cases} \]
Da cui \( f_n(x) \) conv. puntualmente a \[ f(x)=\begin{cases} 1 & \sqrt{2e}\frac{x}{e^{x^2}} = 1\\0 & -1 < \sqrt{2e}\frac{x}{e^{x^2}}<1 \end{cases} \].
Ora mi chiedevo se il fatto che la funzione limite cambi in relazione ad \( \sqrt{2e}\frac{x}{e^{x^2}} \) basti a dimostrare che la \( f_n(x) \) non converge uniformente, oppure in caso contrario come posso discutere la convergenza uniforme?
Grazie in Anticipo.
il limite puntuale dovrebbe essere \[ \lim_{n \to \infty}f_n(x)= \begin{cases}+\infty & \sqrt{2e}\frac{x}{e^{x^2}}>1\\
1 & \sqrt{2e}\frac{x}{e^{x^2}} = 1\\0 & -1 < \sqrt{2e}\frac{x}{e^{x^2}}<1\\ \nexists & \sqrt{2e}\frac{x}{e^{x^2}} \le -1\end{cases} \]
Da cui \( f_n(x) \) conv. puntualmente a \[ f(x)=\begin{cases} 1 & \sqrt{2e}\frac{x}{e^{x^2}} = 1\\0 & -1 < \sqrt{2e}\frac{x}{e^{x^2}}<1 \end{cases} \].
Ora mi chiedevo se il fatto che la funzione limite cambi in relazione ad \( \sqrt{2e}\frac{x}{e^{x^2}} \) basti a dimostrare che la \( f_n(x) \) non converge uniformente, oppure in caso contrario come posso discutere la convergenza uniforme?
Grazie in Anticipo.
Risposte
Se il limite puntuale di $f_n(x)$ non è continuo, $f_n(x)$ non puo' convergere uniformemente.
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