Convergenza successione di funzioni

[thedarkhero]

Non mi è chiara la differenza tra convergenza puntuale e uniforme di una successione di funzioni in un intervallo.
Convergere uniformemente significa stare in tutto l'intervallo in un "intorno" della funzione, e quindi anche convergere puntualmente (infatti uniforme implica puntuale) ma quando non è vero il viceversa?

[Principe2]

Pensa ad una successione di funzioni $f_n$ continue in $[0,1]$ e tali che $f_n(1/n)=1$ e $f_n(x)=0$ per ogni $x\ge2/n$ (disegna per capire!).
La successione converge alla funzione (non continua) che vale $1$ per $x=0$ ed è nulla altrove. La convergenza non è uniforme in un intorno di $x=0$ in quanto la successione (parlo brutalmente per farti capire l'idea) assume valori vicini sia a $0$ che a $1$ e quindi non riesci a infilare tutte le funzioni contemporaneamente nello stesso intorno della funzione limite.

[gugo82]

Ad esempio quando:

$f_n(x):=\{(1-nx, ", se " 0< x<=1/n),(0, ", se " 1/n<= x<=1):}$.

La $f_n$ converge a $0$ in $]0,1]$ puntualmente ma non uniformemente.

Se fai un disegno ti accorgi che, per quanto prendi grande $n$, c'è sempre un pezzo del grafico di $f_n$ fuori dalla striscia di semiampiezza $epsilon$ che circonda il grafico di $f(x)=0$.

[dissonance]

Qui c'è un esempio di successione di funzioni convergente puntualmente ma non uniformemente, con tanto di disegni già fatti:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#335061