Convergenza successione di funzioni

[Mess2003]

Salve a tutti. Vi chiedo gentilmente aiuto per la risoluzione di questi due esercizi. In entrambi la richiesta è quella di studiare la convergenza puntuale e stabilire in quali insiemi la convergenza è uniforme.

1) $ arctan(x+k)arctan(x-k) $ dove x appartiene ad R

2) $ sin(kx)sin(x/k) $ dove x appartiene ad R


1) Ho iniziato fissando x e calcolando il limite $ lim_(k->+infty)(arctan(x+k)arctan(x-k)) $ ottenendo
che la funzione converge puntualmente alla funzione limite $ f(x)= -pi^2/4 $ per ogni x appartenente ad R.
Ora per verificare la convergenza uniforme fisso k e calcolo l’estremo superiore della funzione modulo $|arctan(x+k)arctan(x-k)+ pi^2/4|$. E qui mi blocco. Sospetto che non ci sia convergenza uniforme in tutto R. Sarebbe lecito ai fini della dimostrazione presupporre x=k ed ottenere dunque il modulo di $|arctan(2k)arctan(0)+pi^2/4|$ e dunque $pi^2/4$ che non tende a 0 per $ k $ che tende a $+infty$?
E come faccio a trovare restrizioni di R in cui la convergenza é uniforme? Quest’ultimo è un punto che spesso mi torna difficile.

2) Nel secondo esercizio sono arrivata allo stesso punto. Studiando il limite della successione ho ottenuto che essa converge puntualmente alla funzione limite $f(x)=x^2$ per ogni x appartenente ad R.
Per quanto riguarda la convergenza uniforme mi blocco ancora. Potrei forse utilizzare qualche maggiorazione?

Qualcuno avrebbe eserciziari con soluzioni da consigliarmi? Online e sul Bertsch non ne ho trovati molti. Nonostante abbia abbastanza chiara la teoria, trovo difficoltà con questo argomento perché non riesco, come invece sono sempre riuscita a fare in Analisi 1 e 2, a farmi degli schemi sulle varie casistiche che si possono presentare…
Vi ringrazio anticipatamente.

[Lebesgue]

"Jelly_13":
2) Nel secondo esercizio sono arrivata allo stesso punto. Studiando il limite della successione ho ottenuto che essa converge puntualmente alla funzione limite $f(x)=x^2$ per ogni x appartenente ad R.
Per quanto riguarda la convergenza uniforme mi blocco ancora. Potrei forse utilizzare qualche maggiorazione?

Attento: qui il limite puntuale per $k \to +\infty$ è zero, infatti $\sin(kx)$ oscilla tra $-1$ e $1$, mentre $\sin(x/k) \to \sin 0 = 0$ per $k \to +\infty$, dunque per il teorema dei carabinieri, la tua successione di funzioni convergente puntualmente alla funzione identicamente nulla $f(x) = 0$.
Per studiarne poi il sup, puoi considerare la funzione $g(x) = \sin(kx)\sin(x/k)$, notare che è pari, dunque ridurti a studiarla per $x \ge 0$ (per parità, succederà la stessa cosa per $x < 0$).
Utilizzando le formule di Werner, puoi riscrivere $g(x) = 1/2 [\cos(kx - x/k) - \cos(kx + x/k)]$, calcolarti la derivata e vedere i punti di massimo e minimo.

[Noodles1]

Per quanto riguarda il primo esercizio, svolgendo uno studio di funzione:

$f_n(x)=arctg(x+n)arctg(x-n)$

Dominio

$AA x in RR$

Simmetria

$Pari$

Intersezioni con gli assi

$(-n,0) ^^ (0,-arctg^2n) ^^ (n,0)$

Segno

$[f_n(x) gt 0] harr [x lt -n vv x gt n]$

$[f_n(x) lt 0] harr [-n lt x lt n]$

Asintoto orizzontale

$lim_(x->+-oo)f_n(x)=\pi^2/4$

Derivata

$f_n'(x)=(arctg(x+n))/(1+(x-n)^2)+(arctg(x-n))/(1+(x+n)^2)$

Caso 1

$f_n'(0)=0$

Caso 2

$x gt= n$

$f_n'(x) gt 0$

Caso 3

$0 lt x lt n$

$f_n'(x)=(arctg(x+n))/(1+(x-n)^2)-(arctg(-x+n))/(1+(x+n)^2)$

$\{(arctg(x+n) gt 0),(arctg(-x+n) gt 0),(arctg(x+n) gt arctg(-x+n)):} ^^ \{(1+(x-n)^2 gt 0),(1+(x+n)^2 gt 0),(1+(x-n)^2 lt 1+(x+n)^2):} rarr$

$rarr (arctg(x+n))/(1+(x-n)^2) gt (arctg(-x+n))/(1+(x+n)^2) rarr$

$rarr (arctg(x+n))/(1+(x-n)^2)-(arctg(-x+n))/(1+(x+n)^2) gt 0 rarr$

$rarr f_n'(x) gt 0$

si comprende piuttosto intuitivamente:

che la successione converge uniformemente in:

$AA M_1 lt M_2$

$M_1 lt= x lt= M_2$

Non resta che formalizzarlo.

[Mess2003]

Ringrazio molto entrambi per le risposte.