Convergenza successione di funzioni
Salve a tutti!
Ho provate a risolvere questo esercizio ma non se l'ho fatto correnttamente. Vi mostro come ho provato a svolgerlo.
L'esercizio richiede data la successione di funzioni: $g_n(x)=arctg(x^n)$ di determinare il limite puntuale e la convergenza uniforme sugli intervalli $[1/2,3/2]$ e $[-1/2,1/2]$.
Per il primo punto ho calcolato: $lim_{n \to \infty}(arctg(x^n)) = g(x) = \{(0 if |x|<1),(\pi/4 if x=1),(\pi/2 if x>1):}$
quindi $g_n(x)$ converge puntualmente a $g(x) AA x > -1$.
Per la convergenza uniforme su $[1/2,3/2]$ ho pensato che siccome le funzioni che costituiscono la successione sono continue in questo intervallo ma il limite puntuale no, allora non può esserci convergenza uniforme in questo intervallo. È coretto?
Nell'intervallo $[-1/2,1/2] = I$, $g(x)$ è continua quindi procedo a verificarne l'uniforme convergenza calcolando:
$lim_{n \to \infty}$ sup $|arctg(x^n)|$ = $lim_{n \to \infty}$ sup $|g_n(x)|, AA x in I $
Siccome $|g_n(x)|$ è pari rispetto a $x$ restringo l'intervallo a $[0,1/2]$ nel quale la funzione è continua e monotona crescente quindi assume il massimo in $x=1/2$. Quindi $lim_{n \to \infty}arctg((1/2)^n) = 0$ e concludo che $g_n(x)$ converge uniformemente a $g(x)$ in $I$.
Francamente ho capito molto poco sull'argomento quindi temo di aver sbagliato qualcosa se non tutto. Spero possiate aiutarmi chiarire.
Ho provate a risolvere questo esercizio ma non se l'ho fatto correnttamente. Vi mostro come ho provato a svolgerlo.
L'esercizio richiede data la successione di funzioni: $g_n(x)=arctg(x^n)$ di determinare il limite puntuale e la convergenza uniforme sugli intervalli $[1/2,3/2]$ e $[-1/2,1/2]$.
Per il primo punto ho calcolato: $lim_{n \to \infty}(arctg(x^n)) = g(x) = \{(0 if |x|<1),(\pi/4 if x=1),(\pi/2 if x>1):}$
quindi $g_n(x)$ converge puntualmente a $g(x) AA x > -1$.
Per la convergenza uniforme su $[1/2,3/2]$ ho pensato che siccome le funzioni che costituiscono la successione sono continue in questo intervallo ma il limite puntuale no, allora non può esserci convergenza uniforme in questo intervallo. È coretto?
Nell'intervallo $[-1/2,1/2] = I$, $g(x)$ è continua quindi procedo a verificarne l'uniforme convergenza calcolando:
$lim_{n \to \infty}$ sup $|arctg(x^n)|$ = $lim_{n \to \infty}$ sup $|g_n(x)|, AA x in I $
Siccome $|g_n(x)|$ è pari rispetto a $x$ restringo l'intervallo a $[0,1/2]$ nel quale la funzione è continua e monotona crescente quindi assume il massimo in $x=1/2$. Quindi $lim_{n \to \infty}arctg((1/2)^n) = 0$ e concludo che $g_n(x)$ converge uniformemente a $g(x)$ in $I$.
Francamente ho capito molto poco sull'argomento quindi temo di aver sbagliato qualcosa se non tutto. Spero possiate aiutarmi chiarire.
Risposte
Credi di piu' in te stesso: mi sembra che sia perfetto.
Sono d'accordo con Luca.Lussardi, tutto quello che hai fatto va bene; scrivo per aggiungere un'unica cosa, io l'esercizio non lo considererei finito, perché mi hanno insegnato che in esercizi del genere, se non c'è convergenza uniforme su tutto il dominio bisogna comunque caratterizzare i sottoinsiemi del dominio in cui c'è convergenza uniforme, ma se a voi questa cosa non è richiesta l'esercizio è completo e svolto perfettamente.
Grazie a entrambi per le risposte!
In realtà l'esercizio richiedeva anche di determinare per quale intervallo $[0,L]$ la serie di funzioni: $\sum_{n=1}^\infty g_n(x)$ converge totalmente, ma siccome ho appena iniziato a studiare le serie di funzioni non lo so ancora svolgere. Magari quando avrò studiato bene l'argomento aggiornerò il post con un tentativo di soluzione. Effettivamente potrei provare trovare gli insiemi di convergenza uniforme visto che di solito è la parte che non mi viene mai in questo tipo di esercizi
.
Ci provo ma non prometto nulla...
Osservando il limite puntuale direi che la successione potrebbe convergere uniformemente negli insiemi del tipo $(-1,1)$ e $[a,+\infty)$ con $a>1$ ovviamente.
Nel primo caso dovrò trovare:
sup $|arctg(x^n)-0| AA x in(-1,1)$ = sup $arctg(x^n) AA x in[0,1) = lim_(x->1-) arctg(x^n) = arctg(1^n)$
essendo le funzioni continue in questo intervallo
$lim_(n-> infty)arctg(1^n) = \pi/4$ quindi non converge uniformemente in $(-1,1)$ . (?)
Siccome Abbiamo già visto che converge uniformemente in $[-1/2,1/2]$, o ho sbagliato ciò che ho appena scritto, o dovrei forse provare con un intervallo del tipo: $[-a,a]$ con $|a|<1$. In questo caso farei:
sup $|arctg(x^n)| AA x in[-a,a] = $ sup $ arctg(x^n) AA x in[0,a] = arctg(a^n)$. Siccome $|a|<1$ si ha che:
$lim_(n-> infty)arctg(a^n) = 0$ quindi converge uniformemente in $[-a,a]$ (?)
Nel secondo caso:
sup $|arctg(x^n)-\pi/2| AA x in [a,+\infty)$ = sup $\pi/2-arctg(x^n) AA x in [a,+\infty) = $
$=lim_(x->a+)\pi/2-arctg(x^n) = \pi/2-arctg(a^n)$. Quindi essendo $a>1$ si ha:
$lim_(n->+\infty)\pi/2-arctg(a^n) = \pi/2-\pi/2 = 0$ e quindi ho convergenza uniforme su questo tipo di intervallo. (?)
Il problema con questo tipo di esercizi è che non esiste un metodo di risoluzione univoco, per quanto riguarda la convergenza uniforme. A lezione il prof ne ha parlato molto velocemente facendo quasi nulla di esercizi, però giustamente all'esame li mette...
In realtà l'esercizio richiedeva anche di determinare per quale intervallo $[0,L]$ la serie di funzioni: $\sum_{n=1}^\infty g_n(x)$ converge totalmente, ma siccome ho appena iniziato a studiare le serie di funzioni non lo so ancora svolgere. Magari quando avrò studiato bene l'argomento aggiornerò il post con un tentativo di soluzione. Effettivamente potrei provare trovare gli insiemi di convergenza uniforme visto che di solito è la parte che non mi viene mai in questo tipo di esercizi
.Ci provo ma non prometto nulla...
Osservando il limite puntuale direi che la successione potrebbe convergere uniformemente negli insiemi del tipo $(-1,1)$ e $[a,+\infty)$ con $a>1$ ovviamente.
Nel primo caso dovrò trovare:
sup $|arctg(x^n)-0| AA x in(-1,1)$ = sup $arctg(x^n) AA x in[0,1) = lim_(x->1-) arctg(x^n) = arctg(1^n)$
essendo le funzioni continue in questo intervallo
$lim_(n-> infty)arctg(1^n) = \pi/4$ quindi non converge uniformemente in $(-1,1)$ . (?)
Siccome Abbiamo già visto che converge uniformemente in $[-1/2,1/2]$, o ho sbagliato ciò che ho appena scritto, o dovrei forse provare con un intervallo del tipo: $[-a,a]$ con $|a|<1$. In questo caso farei:
sup $|arctg(x^n)| AA x in[-a,a] = $ sup $ arctg(x^n) AA x in[0,a] = arctg(a^n)$. Siccome $|a|<1$ si ha che:
$lim_(n-> infty)arctg(a^n) = 0$ quindi converge uniformemente in $[-a,a]$ (?)
Nel secondo caso:
sup $|arctg(x^n)-\pi/2| AA x in [a,+\infty)$ = sup $\pi/2-arctg(x^n) AA x in [a,+\infty) = $
$=lim_(x->a+)\pi/2-arctg(x^n) = \pi/2-arctg(a^n)$. Quindi essendo $a>1$ si ha:
$lim_(n->+\infty)\pi/2-arctg(a^n) = \pi/2-\pi/2 = 0$ e quindi ho convergenza uniforme su questo tipo di intervallo. (?)
Il problema con questo tipo di esercizi è che non esiste un metodo di risoluzione univoco, per quanto riguarda la convergenza uniforme. A lezione il prof ne ha parlato molto velocemente facendo quasi nulla di esercizi, però giustamente all'esame li mette...
Ma lo vedi che sei bravo? Hai fatto tutto perfettamente.
Visto che ci sei prova anche a dimostrare che nell'insieme $(1,+\infty)$ non c'è convergenza uniforme.
Visto che ci sei prova anche a dimostrare che nell'insieme $(1,+\infty)$ non c'è convergenza uniforme.
Grazie, ma credo stiate sopravvalutando le mie capacità matematiche...
Il caso dell'intervallo $(1,+\infty)$ l'avevo considerato prima di calcolare $[a,+\infty]$ ma mi sono scordato di scriverlo!
Avevo trovato che:
sup$|arctg(x^n)-\pi/2| AA x in (1,+\infty) = $ sup$ \pi/2-arctg(x^n) AA x in (1,+\infty) = lim_(x->1-)\pi/2-arctg(x^n) =$
$= \pi/2-arctg(1^n)$. Quindi:
$lim_(n->infty) \pi/2-arctg(1^n) = \pi/2-\pi/4 = \pi/4 != 0$ Quindi $g_n(x)$ non converge uniformemente in $(1,+\infty)$
Ora però mi sorge una domanda (forse stupida ma vabbé). Che differenza c'è tra considerare l'intervallo $(1,+\infty)$, in cui la successione non converge uniformemente e $[a,+\infty)$ con $a>1$ in cui invece converge? Visto che nel secondo intervallo $a$ può essere qualsiasi valore maggiore di uno, non dovrebbe essere uguale al primo intervallo? Ovviamente non è così ma perché?
Grazie ancora per le risposte!
Il caso dell'intervallo $(1,+\infty)$ l'avevo considerato prima di calcolare $[a,+\infty]$ ma mi sono scordato di scriverlo!
Avevo trovato che:
sup$|arctg(x^n)-\pi/2| AA x in (1,+\infty) = $ sup$ \pi/2-arctg(x^n) AA x in (1,+\infty) = lim_(x->1-)\pi/2-arctg(x^n) =$
$= \pi/2-arctg(1^n)$. Quindi:
$lim_(n->infty) \pi/2-arctg(1^n) = \pi/2-\pi/4 = \pi/4 != 0$ Quindi $g_n(x)$ non converge uniformemente in $(1,+\infty)$
Ora però mi sorge una domanda (forse stupida ma vabbé). Che differenza c'è tra considerare l'intervallo $(1,+\infty)$, in cui la successione non converge uniformemente e $[a,+\infty)$ con $a>1$ in cui invece converge? Visto che nel secondo intervallo $a$ può essere qualsiasi valore maggiore di uno, non dovrebbe essere uguale al primo intervallo? Ovviamente non è così ma perché?
Grazie ancora per le risposte!
"Sling":
Grazie, ma credo stiate sopravvalutando le mie capacità matematiche...
Basandosi sulle cose che hai scritto direi di no.
Il caso dell'intervallo $(1,+\infty)$ l'avevo considerato prima di calcolare $[a,+\infty]$ ma mi sono scordato di scriverlo!
Avevo trovato che:
sup$|arctg(x^n)-\pi/2| AA x in (1,+\infty) = $ sup$ \pi/2-arctg(x^n) AA x in (1,+\infty) = lim_(x->1-)\pi/2-arctg(x^n) =$
$= \pi/2-arctg(1^n)$. Quindi:
$lim_(n->infty) \pi/2-arctg(1^n) = \pi/2-\pi/4 = \pi/4 != 0$ Quindi $g_n(x)$ non converge uniformemente in $(1,+\infty)$
Ancora una volta perfetto.
Ora però mi sorge una domanda (forse stupida ma vabbé).
Non è affatto stupida, ma anche se lo fosse faresti bene a chiedere, sempre meglio su un forum che all'esame!
Che differenza c'è tra considerare l'intervallo $(1,+\infty)$, in cui la successione non converge uniformemente e $[a,+\infty)$ con $a>1$ in cui invece converge? Visto che nel secondo intervallo $a$ può essere qualsiasi valore maggiore di uno, non dovrebbe essere uguale al primo intervallo? Ovviamente non è così ma perché?
Grazie ancora per le risposte!
Questo è un punto più delicato, la differenza è che quando consideri $(1,+\infty)$ ti puoi avvicinare a $1$ quanto ti pare ed è ciò che fa sballare la convergenza uniforme (guarda la dimostrazione e facci caso), mentre nell'altro caso, devi tenere presente che PRIMA fissi $a$, POI fai tutte le altre considerazioni, il che ti permette di stare lontano da $1$, quindi hai la convergenza uniforme. In un certo senso nel primo caso ti puoi avvicinare veramente a $1$, che è dove si nascondono i problemi per la convergenza uniforme, nel secondo caso solamente potenzialmente.
Non so se è tanto chiaro, ma è una cosa molto importante capire queste sottigliezze, aiuta tanto in analisi.
Sull'ultimo punto delicato: per vedere meglio prendi $x^n$ su $[0,1]$ e fai qualche disegno, vedrai che per $x=1$ tutte le curve si impennano per cercare di arrivare a $1$, per cui non hai uno schiacciamento uniforme verso $0$, schiacciamento che hai su ogni intervallo $[0,a]$ con $a<1$. Anche su $[0,1)$ hai lo stesso problema perche' all'operatore sup non gliene frega niente se consideri $1$ o no...
Grazie mille ad entrambi! Siete stato molto chiari.
Per completezza aggiungo la soluzione dell'ultimo punto dell'esercizio che chiedeva di determinare per quali $L > 0$ la serie di funzioni $sum_(n=1)^infty arctg(x^n)$ converge totalmente sull'intervallo $[0, L]$. Per la definizione di convergenza totale bisogna quindi verificare che $sum_(n=1)^infty$ sup $ |arctg(x^n)| AA x in [0,L]$ sia convergente.
Verifico prima la condizione necessaria di Cauchy:
$lim_(n->infty) arctg(x^n) = 0 hArr |L|<1$ Quindi potrà convergere solo su $[0,L], L<1$
Calcolo ora: sup $|arctg(x^n)| AA x in [0,L]$ = sup $arctg(x^n) AA x in [0,L]$ = $arctg(L^n)$ Quindi:
$sum_(n=1)^infty$ sup $ |arctg(x^n)| AA x in [0,L] = sum_(n=1)^infty arctg(L^n)$ Considerando che $0
$arctg(L^n) ~ L^n$ per $n->infty$ La serie $sum_(n=1)^infty L^n$ è una serie geometrica che converge nell'intervallo
considerato per il criterio del confronto asintotico. Posso quindi concludere che la serie $sum_(n=1)^infty arctg(x^n)$
converge totalmente per $x in [0,L]$ con $L<1$.
Verifico prima la condizione necessaria di Cauchy:
$lim_(n->infty) arctg(x^n) = 0 hArr |L|<1$ Quindi potrà convergere solo su $[0,L], L<1$
Calcolo ora: sup $|arctg(x^n)| AA x in [0,L]$ = sup $arctg(x^n) AA x in [0,L]$ = $arctg(L^n)$ Quindi:
$sum_(n=1)^infty$ sup $ |arctg(x^n)| AA x in [0,L] = sum_(n=1)^infty arctg(L^n)$ Considerando che $0
$arctg(L^n) ~ L^n$ per $n->infty$ La serie $sum_(n=1)^infty L^n$ è una serie geometrica che converge nell'intervallo
considerato per il criterio del confronto asintotico. Posso quindi concludere che la serie $sum_(n=1)^infty arctg(x^n)$
converge totalmente per $x in [0,L]$ con $L<1$.
Esatto.
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