Convergenza successione di funzioni

[simo_cant]

Ciao, ho risolto questo quesito e scrivo qua per sapere se il procedimento che ho svolto è corretto. Ho una successione di funzioni $ fn(x)=1/(sqrt(n)*x)*cos(x^2/n) $ e mi si chiede di studiare la convergenza di questa successione in $ [pi, 2pi] $. La successione converge puntualmente a $0$ su $R$ tranne zero. Poi ho scritto così: $ 1/(sqrt(n)*x)*cos(x^2/n)<=1/(sqrt(n)*x) $ e poichè siamo in $ [pi,2pi] $, $ 1/(sqrt(n)*x)<=1/(pi*sqrt(n)) $. In definitiva ho che $1/(sqrt(n)*x)*cos(x^2/n)<=1/(pi*sqrt(n)) $ in $ [pi,2pi] $. Essendo $1/(pi*sqrt(n)) $ una successione convergente, la successione di funzioni converge uniformemente in questo intervallo. E' corretto?

[Ernesto011]

I calcoli sono giusti, il ragionamento direi nì.
Nella conclusione, non deve solo convergere ma deve convergere a 0. Se quella successione convergesse a 3 allora non potresti concludere che in quell'intervallo c'è convergenza uniforme. (NB: non deve convergere a 0 perchè il limite puntuale è 0, ma perchè vuoi che $||f_n(x)-f_oo (x)||_oo$ tenda a 0)

[simo_cant]

Sisi era quello che intendevo fare che non ho scritto.. quella successione sarebbe la "distanza" delle funzioni della successione dalla funzione limite che è $0$ e siccome è infinitesima la successione delle f converge uniformemente