Convergenza successione di funzioni

[edoc]

per la successione di funzioni \(fn(x)= (x*sin(nx))/n \) studiare convergenza semplice e uniforme in R.

io posto che |sin(nx)|<1 maggiorando la successione di funzioni risulta che converge uniformemente (e quindi puntualmente) in R a zero
è corretto il.mio ragionamento?

[Rigel1]

"RBS":per la successione di funzioni \(fn(x)= (x*sin(nx))/n \) studiare convergenza semplice e uniforme in R.

io posto che |sin(nx)|<1 maggiorando la successione di funzioni risulta che converge uniformemente (e quindi puntualmente) in R a zero
è corretto il.mio ragionamento?

No.
Usando la stima \(|\sin (nx)| \leq 1\) ottieni che
\[
|f_n(x)| \leq \frac{|x|}{n}
\]
che è sufficiente per dimostrare convergenza puntuale (alla funzione nulla) e convergenza uniforme sugli insiemi limitati, ma non la convergenza uniforme su tutto \(\mathbb{R}\).

D'altra parte, la convergenza non è uniforme su tutto \(\mathbb{R}\) (prova a verificarlo).

[edoc]

"Rigel":[quote="RBS"]per la successione di funzioni \(fn(x)= (x*sin(nx))/n \) studiare convergenza semplice e uniforme in R.

io posto che |sin(nx)|<1 maggiorando la successione di funzioni risulta che converge uniformemente (e quindi puntualmente) in R a zero
è corretto il.mio ragionamento?

No.
Usando la stima \(|\sin (nx)| \leq 1\) ottieni che
\[
|f_n(x)| \leq \frac{|x|}{n}
\]
che è sufficiente per dimostrare convergenza puntuale (alla funzione nulla) e convergenza uniforme sugli insiemi limitati, ma non la convergenza uniforme su tutto \(\mathbb{R}\).

D'altra parte, la convergenza non è uniforme su tutto \(\mathbb{R}\) (prova a verificarlo).[/quote]

cioè in che modo la convergenza è uniforme sugli insiemi limitati di R e non su tutto R?

[Rigel1]

Se hai \(E\subseteq [-a,a]\), con \(a > 0\), allora
\[
\sup_{x\in E} |f_n(x) - f(x)| \leq \sup_{x\in E} \frac{|x|}{n} \leq \frac{a}{n}
\]
e da qui discende la convergenza uniforme sui limitati.

D'altra parte, se prendi ad esempio \(x_n := \frac{1}{n} \left(\frac{\pi}{2} + 2n^2\pi\right) \sim 2 n \pi\), hai che
\[
f_n(x_n) = \frac{x_n}{n} \sim 2\pi,
\]
e ciò mostra che la convergenza non è uniforme su tutto \(\mathbb{R}\).