Convergenza successione di funzione...

[v1ncy-votailprof]

Salve a tutti
Ho questa successione:
$f_n( x)=2n^2(1-cos(x/n))$
Devo studiarne la convergenza puntuale ed uniforme in tutto R.

Per $x=0$ ottengo che $ lim_(n -> +oo ) f_n(0)=0 $
Per $x!= 0$ ottengo che $ lim_(n -> +oo ) f_n(x)=x^2$

I dubbi mi sorgono per la convergenza uniforme:
1)La convergenza uniforme non ha senso studiarla solo in intervalli?se si dovrei studiarla per $x!=0$

$lim_n$ $"sup" _(x>0)$$|2n^2(1-cos(x/n))-x^2|$

Per il $"sup"$ derivo e pongo $>0$ : $n|sin(x/n)|-|x|>0$ posso scrivere quindi: $|(sin(x/n))/(x/n)|>1$ che è sempre vero quindi sempre crescente per $x>0$ e anche per $x<0$.

posso quindi prendere un $K$ arbitrario come punto di $"sup"$ e calcolare il $"sup"$ :
$lim_n 2n^2(1-cos(k/n))-k^2=-k^2$ che converge uniformemente se $k=0$ per $x>0$e $x<0$?
Non capisco se è giusto come ho fatto... nelle soluzioni mi da la convergenza uniforme in un intervallo $[-k,k]$ come mai?
Spero possiate aiutarmi
Grazie anticipate

[j18eos]

"V1ncy":...$|(sin(x/n))/(x/n)|>0$...

Veramente viene dai conti da te postati $|\frac{\sin(\frac{x}{n})}{\frac{x}{n}}|>1$.

[v1ncy-votailprof]

Si vero, grazie per la correzione, viene $|sin(x/n)/(x/n)|>1$ e adesso come faccio a valutarlo? qualcuno sa indicarmi una strada?

[gugo82]

Ricorda che [tex]$\sin y\leq y$[/tex] per [tex]$y\geq 0$[/tex], quindi...

[v1ncy-votailprof]

Giusto, quindi $sin(x/n)>x/n$ per x>0 non è mai vera, quindi è decrescente la funzione considerata.
Lo stesso faccio per x<0 , quindi l'espressione diventa:
$-sin(x/n)> -x/n$---->$ sin(x/n)<(x/n)$ che è sempre vera quindi crescente

In entrambi i casi posso scegliere un valore k che rappresenta il punto di sup , valutare il sup e calcolarne il limite
$lim_n 2n^2-2n^2cos(k/n)-k^2=-k^2$
che converge uniformemente per $k=0$

Adesso non riesco stranamente a dare le conclusioni, mi verrebbe di pensare che la convergenza uniforme è in un intervallo del tipo $[-k,k]$ ma io stesso mi chiedo perchè?

Qualcuno saprebbe spiegarmelo?

[j18eos]

"V1ncy":...$-\sin(\frac{x}{x})> -\frac{x}{n}$...

C'è un meno di troppo! Deve essere per definizione: $-\frac{\sin(\frac{x}{x})}{\frac{x}{n}}>1$

[v1ncy-votailprof]

"j18eos":[quote="V1ncy"]...$-\sin(\frac{x}{x})> -\frac{x}{n}$...

C'è un meno di troppo! Deve essere per definizione: $-\frac{\sin(\frac{x}{x})}{\frac{x}{n}}>1$[/quote]
Scusa ma in valore assoluto non è cosi?:
$|sin(x/n)|>|x/n|$ che a questo punto sarà uguale a $ sin(x/n)>(x/n)$ se$ x>0 $e $-sin(x/n)> -x/n$ ----> $sin(x/n)

Cita

Segnala

[j18eos]

Ragionando così sbagli e ti riporto un esempio esemplificato del tuo caso ma svolto correttamente:

[tex]$|x|<|y|\iff\begin{cases}|x|
ti faccio notare che ho utilizzato diligentemente la definizione di valore assoluto.

[DajeForte]

$sin(y)<=y$ se $y>=0$;
se $y<=0$ hai che $sin(-y)<=-y$ da cui ottieni (per disparità) che $-sin(y)<=-y$ ovvero $sin(y)>=y$.