Convergenza successione di funzione

[L'insapiente]

Ciao a tutti
In esame ho incontrato questo esercizio e tuttora ho difficoltà nell’eseguirlo correttamente

$ fn(x)=(x^(2/n))/(1+nx^2) $

Ho trovato la convergenza puntuale a 0.
L’esercizio mi chiede inoltre di trovare quella uniforme in un intervallo [a,b] con 0 E inoltre in un intervallo tipo [−a,a] con a>0.

Per la puntuale ho fatto il limite per n che tende a +infinito, sistemando il numeratore (come da consiglio del mio prof) :

$ lim_(x -> oo ) (e^((1/n)lnx^2))/(1+nx^2) $

e mi viene uguale a 0.
Per l'uniforme nell'intervallo specificato ho provato a fare il limite del sup|fn(x)-f(x)| ottenendo (tramite derivata):

$ (2/n*x^(2/n)*(1+nx^2)-(x^(2/n)*2xn))/(1+nx^2)^2 $

ora ho studiato il numeratore, ponendolo maggiore di 0 per trovare un punto di massimo.
Ho studiato solo un pezzo del numeratore, poichè dato l'intervallo datomi (dove escludo lo 0) mi sono concentrato su:$ 1/n−x^2(n−1)>0 $ che è l'unico pezzo che si potrebbe annullare

considero quindi : $ x=1/(sqrt(n^2-n) $ che dovrebbe essere un punto di massimo, ora lo sostituisco nella fn e faccio il limite che dovrebbe tendere a 0 se convergesse uniformemente.

$ lim_(x -> oo ) ((1/(sqrt(n^2-n)))^(2/n))/(1+n*(1/(sqrt(n^2-n)))^2) $

a questo punto mi sono bloccato, ho tentato ma ottenendo lim=1 e da correzione del prof dovrebbe essere 0.
Cosa sto sbagliando?
Grazie!

[pilloeffe]

Ciao Kermit,

Potresti osservare che $(a - b)^2 >= 0 \implies a^2 + b^2 >= 2ab $

Posto $a := 1 $ e $b^2 := nx^2 \implies b = sqrt{n}|x| $ si ha:

$|f_n(x) - f(x)| = |f_n(x) - 0| = |x^{2/n}/(1 + nx^2)| <= 1/(2\sqrt{n}|x|^{1 - 2/n}) $