Convergenza successione
Ciao a tutti, ho un problema con un esercizio sulle successioni, potete darmi una mano? 
L'esercizio dice:
" Una successione a(n) di numeri reali soddisfa la seguente condizione: |an -5|<3^(-231) , per ogni n>1769
La successione è limitata? La successione è convergente? "
I valori numerici irreali mi suggeriscono che l'esercizio non va risolto meccanicamente, per cui ho ricorso alla definizione di limite di successioni.
Ponendo lim (an)= a, la definizione dice che:
| an - a|< ε , per ogni n>ν
che è la stessa struttura proposta dall'esercizio.
Posso ricavarne che, pertanto, la successione è limitata?
Di conseguenza, se è limitata, tramite Weiestrass posso asserire che la successione è divergente?
Vi ringrazio,
Katia
L'esercizio dice:
" Una successione a(n) di numeri reali soddisfa la seguente condizione: |an -5|<3^(-231) , per ogni n>1769
La successione è limitata? La successione è convergente? "
I valori numerici irreali mi suggeriscono che l'esercizio non va risolto meccanicamente, per cui ho ricorso alla definizione di limite di successioni.
Ponendo lim (an)= a, la definizione dice che:
| an - a|< ε , per ogni n>ν
che è la stessa struttura proposta dall'esercizio.
Posso ricavarne che, pertanto, la successione è limitata?
Di conseguenza, se è limitata, tramite Weiestrass posso asserire che la successione è divergente?
Vi ringrazio,
Katia
Risposte
Ciao,Katia,e benvenuta sul Forum:
puoi cortesemente mettere i simboli in "matematichese" tra i simboli di dollaro statunitense,ed eventuali loro indici con la struttura _(..),che da queste parti ci si tiene?
Venendo al tuo quesito,cosa sai dirmi di $"a"_"n"$,se pongo $"m=min{a"_"1","a"_"2"",...,a"_"1768","a"_"1769"", 5-3"^"-231""}"$ ed $"M=max{a"_"1","a"_"2"",...,a"_"1768","a"_"1769"", 5+3"^"-231""}"$?
E del comportamento al limite della successione $"5+(-1)"^"n""3"^"-232"$?
Saluti dal web.
Edit.
Corretta una piccola svista,nata dall'aver scambiato un simbolo di maggiore relativo all'indice per uno di maggiore o uguale:
non è significativa ai tuoi fini attuali,ma è bene imparare da subito a far attenzione a certi dettagli alle volte significativi(sopratutto quando più avanti dovrai imparare a "sommare" tutti gli elementi di una successione).
puoi cortesemente mettere i simboli in "matematichese" tra i simboli di dollaro statunitense,ed eventuali loro indici con la struttura _(..),che da queste parti ci si tiene?
Venendo al tuo quesito,cosa sai dirmi di $"a"_"n"$,se pongo $"m=min{a"_"1","a"_"2"",...,a"_"1768","a"_"1769"", 5-3"^"-231""}"$ ed $"M=max{a"_"1","a"_"2"",...,a"_"1768","a"_"1769"", 5+3"^"-231""}"$?
E del comportamento al limite della successione $"5+(-1)"^"n""3"^"-232"$?
Saluti dal web.
Edit.
Corretta una piccola svista,nata dall'aver scambiato un simbolo di maggiore relativo all'indice per uno di maggiore o uguale:
non è significativa ai tuoi fini attuali,ma è bene imparare da subito a far attenzione a certi dettagli alle volte significativi(sopratutto quando più avanti dovrai imparare a "sommare" tutti gli elementi di una successione).
"theras":
Ciao,Katia,e benvenuta sul Forum:
puoi cortesemente mettere i simboli in "matematichese" tra i simboli di dollaro statunitense,ed eventuali loro indici con la struttura _(..),che da queste parti ci si tiene?
Chiedo scusa, starò più attenta
"theras":
Venendo al tuo quesito,cosa sai dirmi di $"a"_"n"$,se pongo $"m=min{a"_"1","a"_"2"",...,a"_"1768"", 5-3"^"-231""}"$ ed $"M=max{a"_"1","a"_"2"",...,a"_"1768"",5+3"^"-231""}"$?
Posso dire che la funzione è limitata tra $"5-3"^"-231""$ e $"5+3"^"-231""$ ?
"theras":
E del comportamento al limite della successione $"5+(-1)"^"n""3"^"-232"$?
Per n dispari ottengo una differenza mentre per n pari ottengo una somma, in entrambi i casi diciamo che il limite converge a 5. Giusto?
Grazie in anticipo,
Katia
"katia89":
Posso dire che la funzione è limitata tra $ "5-3"^"-231"" $ e $ "5+3"^"-231"" $ ?
Direi piuttosto tra m ed M(ma guarda l'edit del mio I°messaggio):
perchè?
"katia89":
[quote="theras"]
E del comportamento al limite della successione $ "5+(-1)"^"n""3"^"-232" $?
Per n dispari ottengo una differenza mentre per n pari ottengo una somma, in entrambi i casi diciamo che il limite converge a 5. Giusto?
Katia[/quote]
No:
da quanto hai inizialmente dedotto(giustamente)puoi importare che l'estratta dei termini di posto dispari tende ad un valore e la seconda ad un altro il quale,per quanto vicino al I°(le calcolatrici usuali ad esempio non ne apprezzerebbero la differenza,perchè le sopravvalutiamo ed erroneamente non consideriamo che,come t'accorgerai più avanti negli studi,allo stato attuale della tecnologia la "tolleranza di macchina" fa inevitabilmente perdere a quel sottoinsieme razionale di $RR$ noto col nome di "Aritmetica di macchina" la caratteristica d'essere un dominio d'integrità),
non è uguale ad esso(almeno da non voler accettare che un numero positivo-quale $"+3"^"-231"ne"0"$..-possa essere uguale ad un numero negativo-quale $"-3"^"-231"ne"0"$..-,per poi farla finire come un vecchio Dylan Dog il cui titolo è "Tre per zero"
).Pertanto quella successione,pur rispettando quanto supposto,non ammette limite essendo dotata di due estratte convergenti a valori diversi;
essa è cioè un buon controesempio(ne basterebbe uno,ma nel caso specifico ce ne sono addirittura un'infinità considerevole..)per affermare che una successione limitata(al più da un certo indice in poi-o definitivamente,come si usa dire- che tanto,come dovresti aver intuito dal punto precedente,ai fini della sua limitatezza non cambia nulla),pur non potendo divergere proprio in forza della sua limitatezza,non necessariamente converge(il che non vuol dire che diverga,ed infatti non a caso nelle definizioni iniziali si prende in seria considerazione il caso delle successioni prive di limite..):
in compenso è certo vero,per il teorema di (Bolzano-)Weierstrass cui forse ti riferivi,che da essa se ne possono estrarre di convergenti(un paio d'esempi in tal senso li abbiamo appena costruiti..),ma questo esula dal quesito iniziale e sopratutto,
come abbiamo appena mostrato,non permette d'affermare che una qualunque successione soddisfacente quella disuguaglianza è necessariamente convergente.
"katia89":
Grazie.
Katia
Figurati:
spero d'esserti stato utile,che all'inizio certi aspetti dell'Analisi sono tanto sorprendenti quanto delicati.
Saluti dal web.
"theras":
Direi piuttosto tra m ed M(ma guarda l'edit del mio I°messaggio):
perchè?
Non riesco ad arrivarci
"theras":
No:
da quanto hai inizialmente dedotto(giustamente)puoi importare che l'estratta dei termini di posto dispari tende ad un valore e la seconda ad un altro il quale,per quanto vicino al I°(le calcolatrici usuali ad esempio non ne apprezzerebbero la differenza,perchè le sopravvalutiamo ed erroneamente non consideriamo che,come t'accorgerai più avanti negli studi,allo stato attuale della tecnologia la "tolleranza di macchina" fa inevitabilmente perdere a quel sottoinsieme razionale di $RR$ noto col nome di "Aritmetica di macchina" la caratteristica d'essere un dominio d'integrità),
non è uguale ad esso(almeno da non voler accettare che un numero positivo-quale $"+3"^"-231"ne"0"$..-possa essere uguale ad un numero negativo-quale $"-3"^"-231"ne"0"$..-,per poi farla finire come un vecchio Dylan Dog il cui titolo è "Tre per zero"
Pertanto quella successione,pur rispettando quanto supposto,non ammette limite essendo dotata di due estratte convergenti a valori diversi;
essa è cioè un buon controesempio(ne basterebbe uno,ma nel caso specifico ce ne sono addirittura un'infinità considerevole..)per affermare che una successione limitata(al più da un certo indice in poi-o definitivamente,come si usa dire- che tanto,come dovresti aver intuito dal punto precedente,ai fini della sua limitatezza non cambia nulla),pur non potendo divergere proprio in forza della sua limitatezza,non necessariamente converge(il che non vuol dire che diverga,ed infatti non a caso nelle definizioni iniziali si prende in seria considerazione il caso delle successioni prive di limite..):
in compenso è certo vero,per il teorema di (Bolzano-)Weierstrass cui forse ti riferivi,che da essa se ne possono estrarre di convergenti(un paio d'esempi in tal senso li abbiamo appena costruiti..),ma questo esula dal quesito iniziale e sopratutto,
come abbiamo appena mostrato,non permette d'affermare che una qualunque successione soddisfacente quella disuguaglianza è necessariamente convergente.
.
Ok, quindi per l'unicità del limite questa situazione non è possibile e dunque la successione non converge.
Posso chiedere in base a cosa hai formulato il limite $"5+(-1)"^"n""3"^"-232"$?
Grazie mille per l'aiuto, sei gentilissimo
Katia
Pensa solo che m è minore od uguale di ogni elemento di quell'insieme,ed in particolar modo dell'ultimo(e per transitività lo è di $"a"_"n"$,per quanto supposto,dal 1769° elemento della successione in poi)e dei primi 1768 elementi della successione:
simmetricamente puoi ragionare per M..
Ad ogni modo parlare di unicità del limite è quanto meno rischioso:
magari l'idea l'hai afferrata,e t'esprimi semplicemente in modo inappropriato,ma corri il serio rischio di far venire a chi ti ascolta il(legittimo)dubbio che scambi pan per focaccia,e dunque sarebbe meglio parlare di limite unico per le estratte delle successioni convergenti.
Quella successione l'ho costruita semplicemente pensando a quanto,forse,voleva il problema:
trovare un controesempio,ossia una successione soddisfacente quella disuguaglianza che non sia convergente(e le estratte a tale fine sono spesso comode)..
Saluti dal web.
simmetricamente puoi ragionare per M..
Ad ogni modo parlare di unicità del limite è quanto meno rischioso:
magari l'idea l'hai afferrata,e t'esprimi semplicemente in modo inappropriato,ma corri il serio rischio di far venire a chi ti ascolta il(legittimo)dubbio che scambi pan per focaccia,e dunque sarebbe meglio parlare di limite unico per le estratte delle successioni convergenti.
Quella successione l'ho costruita semplicemente pensando a quanto,forse,voleva il problema:
trovare un controesempio,ossia una successione soddisfacente quella disuguaglianza che non sia convergente(e le estratte a tale fine sono spesso comode)..
Saluti dal web.
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