Convergenza su aperto implica convergenza normale
1) Dimostra che se \[ \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_k(z-z_*)^k \] è una serie intera di raggio di convergenza \( \rho >0 \), allora converge normalmente in tutti i \( z \in D(z_*,\rho) \) e diverge per tutti i \( z \in \mathbb{C} \setminus \bar{D}(z_*, \rho) \)
2)
2.0) Dimostra il lemma di Abel: se
\[ \sup\limits_{k \in \mathbb{N}} \begin{vmatrix} a_k \end{vmatrix} \rho^k < \infty \]
per \( \rho \in (0,\infty) \), allora \( \sum\limits_k a_k z^k \) converge uniformemente su tutti i sottoinsiemi compatti di \( D(0,\rho) \)
2.1) Per il punto 2) ho due versioni di questo esercizio, la seconda è questa
Dimostra il lemma di Abel: se
\[ \sup\limits_{k \in \mathbb{N}} \begin{vmatrix} a_k \end{vmatrix} \rho^k < \infty \]
per \( \rho \in (0,\infty) \), allora \( \sum\limits_k a_k z^k \) converge normalmente su tutti i sottoinsiemi compatti di \( D(0,\rho) \)
3) Trovare una serie intera di raggio di convergenza \( 1 \) che converge su \( \partial D(0,1) \) tranne che in cinque punti, dove diverge.
Queste le mie idee ma non so bene come continuare
1) Consderiamo una successione di funzioni \( f_k : D(z_* , \rho) \to \mathbb{C} \), definite come \( f_k(z) = a_k(z-z_*)^k \), sappiamo che \( \sum\limits_{k=0}^{\infty} f_k(z) \) converge per ogni \( z \in D(z_* , \rho) \), allora \( \forall 0< \tilde{\rho} < \rho \) abbiamo che \( \sum\limits_{k=0}^{\infty} f_k(z) \) converge uniformemente per ogni \( z \in \bar{D}(z_*, \tilde{\rho} )\) pertanto abbiamo che con \( n \to \infty \)
\[ \begin{Vmatrix} \sum\limits_{k=0}^{n} f_k(z) - \sum\limits_{k=0}^{\infty} f_k(z) \end{Vmatrix}_{\infty, \bar{D}(z_*, \tilde{\rho})} \to 0 \]
Però da qui non riesco a mostrare come faccio ad avere \( \forall z_0 \in \bar{D}(z_*, \tilde{\rho} ) \) e per un qualche \( \epsilon >0 \)
\[\sum\limits_{k=0}^{\infty} \begin{Vmatrix} f_k(z) \end{Vmatrix}_{\infty, \bar{D}(z_0, \epsilon)} < \infty \]
Inoltre anche riuscendo a dimostrare questo mi mancherebbe di dimostrare che la serie converge normalmente sul bordo \( \partial D(z_*, \rho) \), chiaramente se la serie non converge non può convergere normalmente e dunque dal momento che il raggio di convergenza è \( \rho \) la serie diverge su \( \mathbb{C} \setminus \bar{D}(z_*, \rho) \).
2) Credo che una delle due versioni non sia corretta, se sbaglio correggetemi e non so quale delle due, penso quella in cui è convergente in modo uniforme sia quella corretta.
3) Non ne ho idea
Mi sto disperando...
2)
2.0) Dimostra il lemma di Abel: se
\[ \sup\limits_{k \in \mathbb{N}} \begin{vmatrix} a_k \end{vmatrix} \rho^k < \infty \]
per \( \rho \in (0,\infty) \), allora \( \sum\limits_k a_k z^k \) converge uniformemente su tutti i sottoinsiemi compatti di \( D(0,\rho) \)
2.1) Per il punto 2) ho due versioni di questo esercizio, la seconda è questa
Dimostra il lemma di Abel: se
\[ \sup\limits_{k \in \mathbb{N}} \begin{vmatrix} a_k \end{vmatrix} \rho^k < \infty \]
per \( \rho \in (0,\infty) \), allora \( \sum\limits_k a_k z^k \) converge normalmente su tutti i sottoinsiemi compatti di \( D(0,\rho) \)
3) Trovare una serie intera di raggio di convergenza \( 1 \) che converge su \( \partial D(0,1) \) tranne che in cinque punti, dove diverge.
Queste le mie idee ma non so bene come continuare
1) Consderiamo una successione di funzioni \( f_k : D(z_* , \rho) \to \mathbb{C} \), definite come \( f_k(z) = a_k(z-z_*)^k \), sappiamo che \( \sum\limits_{k=0}^{\infty} f_k(z) \) converge per ogni \( z \in D(z_* , \rho) \), allora \( \forall 0< \tilde{\rho} < \rho \) abbiamo che \( \sum\limits_{k=0}^{\infty} f_k(z) \) converge uniformemente per ogni \( z \in \bar{D}(z_*, \tilde{\rho} )\) pertanto abbiamo che con \( n \to \infty \)
\[ \begin{Vmatrix} \sum\limits_{k=0}^{n} f_k(z) - \sum\limits_{k=0}^{\infty} f_k(z) \end{Vmatrix}_{\infty, \bar{D}(z_*, \tilde{\rho})} \to 0 \]
Però da qui non riesco a mostrare come faccio ad avere \( \forall z_0 \in \bar{D}(z_*, \tilde{\rho} ) \) e per un qualche \( \epsilon >0 \)
\[\sum\limits_{k=0}^{\infty} \begin{Vmatrix} f_k(z) \end{Vmatrix}_{\infty, \bar{D}(z_0, \epsilon)} < \infty \]
Inoltre anche riuscendo a dimostrare questo mi mancherebbe di dimostrare che la serie converge normalmente sul bordo \( \partial D(z_*, \rho) \), chiaramente se la serie non converge non può convergere normalmente e dunque dal momento che il raggio di convergenza è \( \rho \) la serie diverge su \( \mathbb{C} \setminus \bar{D}(z_*, \rho) \).
2) Credo che una delle due versioni non sia corretta, se sbaglio correggetemi e non so quale delle due, penso quella in cui è convergente in modo uniforme sia quella corretta.
3) Non ne ho idea
Mi sto disperando...
Risposte
Nessuno riesce a farmi capire ? Mi sembra parecchio strano che se una serie converge allora converge normalmente... insomma la convergenza normale è più forte pure della convergenza uniforme!!
Potrebbe andare così
1) Siccome la serie converge su \( D(0,\rho) \), allora per definizione \(\rho:= \sup \{ r \in [0,\infty): \sum\limits_{k=0} \begin{vmatrix} a_k \end{vmatrix} r^k < \infty \} \in [0,\infty] \) Pertanto abbiamo che
\[ \sum\limits_{k=0}^{\infty} \begin{vmatrix} a_k \end{vmatrix} \begin{vmatrix} z- z_* \end{vmatrix}^k = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \begin{vmatrix} a_k \end{vmatrix} \rho^k\frac{\begin{vmatrix} z- z_* \end{vmatrix}^k }{\rho^k} \leq C \sum\limits_{k=0}^{\infty} \begin{vmatrix} a_k \end{vmatrix} \rho^k < \infty \]
E pertanto converge normalmente siccome
\[ \sum\limits_{k=0}^{\infty} \begin{Vmatrix} a_k(z-z_*)^k \end{Vmatrix}_{\infty,D(z_*,\rho)} = \sum\limits_{k=0}^{\infty}\begin{vmatrix} a_k \end{vmatrix} \begin{Vmatrix} (z-z_*)^k \end{Vmatrix}_{\infty,D(z_*,\rho)} = \sum\limits_{k=0}^{\infty}\begin{vmatrix} a_k \end{vmatrix} \begin{pmatrix}\frac{\operatorname{diam}(z-z_*)}{2}\end{pmatrix}^k \frac{\rho^k}{\rho^k} \]
\[=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\begin{vmatrix} a_k \end{vmatrix} \begin{pmatrix}\frac{d(z,z_*)}{2}\end{pmatrix}^k \frac{\rho^k}{\rho^k} = \sum\limits_{k=0}^{\infty}\begin{vmatrix} a_k \end{vmatrix} \begin{pmatrix}\frac{\begin{vmatrix} z- z_* \end{vmatrix}}{2}\end{pmatrix}^k \frac{\rho^k}{\rho^k} \leq\sum\limits_{k=0}^{\infty} \begin{vmatrix} a_k \end{vmatrix} \begin{vmatrix} z- z_* \end{vmatrix}^k \]
3) Scegliamo 5 punti \( p_1, p_2, \ldots, p_5 \) sul cerchio unitario complesso e definiamo la serie di potenze nel seguente modo
\[ \sum\limits_{n=0}^{ \infty} a_n z^n = \begin{pmatrix} \sum\limits_{n=0}^{ \infty} \frac{z^n}{p_1^n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sum\limits_{n=0}^{ \infty} \frac{z^n}{p_2^n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sum\limits_{n=0}^{ \infty} \frac{z^n}{p_3^n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\sum\limits_{n=0}^{ \infty} \frac{z^n}{p_4^n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sum\limits_{n=0}^{ \infty} \frac{z^n}{p_5^n}\end{pmatrix} \]
Converge su \( D(0,1) \) e su \( \partial D(0,1) \) tranne che nei punti \( p_1,p_2, \ldots, p_5 \)
1) Siccome la serie converge su \( D(0,\rho) \), allora per definizione \(\rho:= \sup \{ r \in [0,\infty): \sum\limits_{k=0} \begin{vmatrix} a_k \end{vmatrix} r^k < \infty \} \in [0,\infty] \) Pertanto abbiamo che
\[ \sum\limits_{k=0}^{\infty} \begin{vmatrix} a_k \end{vmatrix} \begin{vmatrix} z- z_* \end{vmatrix}^k = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \begin{vmatrix} a_k \end{vmatrix} \rho^k\frac{\begin{vmatrix} z- z_* \end{vmatrix}^k }{\rho^k} \leq C \sum\limits_{k=0}^{\infty} \begin{vmatrix} a_k \end{vmatrix} \rho^k < \infty \]
E pertanto converge normalmente siccome
\[ \sum\limits_{k=0}^{\infty} \begin{Vmatrix} a_k(z-z_*)^k \end{Vmatrix}_{\infty,D(z_*,\rho)} = \sum\limits_{k=0}^{\infty}\begin{vmatrix} a_k \end{vmatrix} \begin{Vmatrix} (z-z_*)^k \end{Vmatrix}_{\infty,D(z_*,\rho)} = \sum\limits_{k=0}^{\infty}\begin{vmatrix} a_k \end{vmatrix} \begin{pmatrix}\frac{\operatorname{diam}(z-z_*)}{2}\end{pmatrix}^k \frac{\rho^k}{\rho^k} \]
\[=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\begin{vmatrix} a_k \end{vmatrix} \begin{pmatrix}\frac{d(z,z_*)}{2}\end{pmatrix}^k \frac{\rho^k}{\rho^k} = \sum\limits_{k=0}^{\infty}\begin{vmatrix} a_k \end{vmatrix} \begin{pmatrix}\frac{\begin{vmatrix} z- z_* \end{vmatrix}}{2}\end{pmatrix}^k \frac{\rho^k}{\rho^k} \leq\sum\limits_{k=0}^{\infty} \begin{vmatrix} a_k \end{vmatrix} \begin{vmatrix} z- z_* \end{vmatrix}^k \]
3) Scegliamo 5 punti \( p_1, p_2, \ldots, p_5 \) sul cerchio unitario complesso e definiamo la serie di potenze nel seguente modo
\[ \sum\limits_{n=0}^{ \infty} a_n z^n = \begin{pmatrix} \sum\limits_{n=0}^{ \infty} \frac{z^n}{p_1^n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sum\limits_{n=0}^{ \infty} \frac{z^n}{p_2^n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sum\limits_{n=0}^{ \infty} \frac{z^n}{p_3^n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\sum\limits_{n=0}^{ \infty} \frac{z^n}{p_4^n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sum\limits_{n=0}^{ \infty} \frac{z^n}{p_5^n}\end{pmatrix} \]
Converge su \( D(0,1) \) e su \( \partial D(0,1) \) tranne che nei punti \( p_1,p_2, \ldots, p_5 \)
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