Convergenza serie termini positivi
Devo dimostrare che la serie di seguito descritta è convergente:
$\sum_{k=1}^n(1/n - ln ((n+1)/n))$
Sono 2 giorni che provo a dimostrare che:
[list=1][*:q67f883m]$1/n$ è più grande di $ln((n+1)/n)$
per asserire che il termini della serie sono positivi[/*:q67f883m]
[*:q67f883m]che è convergente[/*:q67f883m]
[/list:o:q67f883m]
ma non esco...
Grazie
$\sum_{k=1}^n(1/n - ln ((n+1)/n))$
Sono 2 giorni che provo a dimostrare che:
[list=1][*:q67f883m]$1/n$ è più grande di $ln((n+1)/n)$
per asserire che il termini della serie sono positivi[/*:q67f883m]
[*:q67f883m]che è convergente[/*:q67f883m]
[/list:o:q67f883m]
ma non esco...
Grazie
Risposte
$\sum_{k=1}^n(1/n - ln ((n+1)/n))=\sum_{k=1}^n(1/n - ln (1+1/n))$
Inoltre da taylor si ottiene $1/n-ln(1+1/n)~1/(2n^2)$ che converge, dunque anche la serie iniziale per il teorema del confronto
Inoltre da taylor si ottiene $1/n-ln(1+1/n)~1/(2n^2)$ che converge, dunque anche la serie iniziale per il teorema del confronto
"Ernesto01":
$\sum_{k=1}^n(1/n - ln ((n+1)/n))=\sum_{k=1}^n(1/n - ln (1+1/n))$
Inoltre da taylor si ottiene $1/n-ln(1+1/n)~1/(2n^2)$ che converge, dunque anche la serie iniziale per il teorema del confronto
Questo Taylor lo superficializzo troppo e non ne tengo di conto al momento giusto.
Thanks again.
Ciao zio_mangrovia , allora la nostra serie è
$\sum_{n=1}^\infty (1/n−ln(n+1/n))$
Innanzitutto tu vuoi dimostrare che tale serie è a termini non negativi
Sappiamo che: una serie sarà a termini non negativi se $AA n in NN$ avremo che $a_n>=0$
consideriamo $ a_n =(1/n−ln((n+1)/n)) >=0 $
per le proprietà dei logaritmi sappiamo che $ ln((n+1)/n) = ln(n+1)-ln(n) $
allora avremo che $(1/n−ln((n+1)/n)) = 1/n-ln(n+1)+ln(n)>=0$
dobbiamo allora verificare che $1+n*ln(n)>=n*ln(n+1)$
otteniamo così
$ ln(n)^n>=ln(n+1)^n-1$
$ e^(ln(n)^n)>=e^(ln(n+1)^n-1$
sappiamo che $ e^(ln(n)^n) = e^(n*ln(n)) = n^n$
otteniamo così
$n^n>=((n+1)^n)/e $
$e*n^n>=(n+1)^n$ posso allora facilmente verificare che $AA n in NN$ tale uguaglianza sarà verificata.
Detto ciò , possiamo proseguire con lo studio della nostra serie , verifichiamo la condizione necessaria di Cauchy per la convergenza di una serie
$lim_(n->\infty)(1/n−ln((n+1)/n))= 0$
Verificata così la condizione , nulla possiamo dire ancora sulla convergenza della nostra serie. Consideriamo allora
$1/n-ln((n+1)/n) ~~ 1/2n^2$
sia allora $b_n=1/(2n^2)$ consideriamo $lim_(n->\infty) a_n/b_n $
$lim_(n->\infty) (1/n−ln(n+1/n))2n^2 =1 $ avremo allora che $ L=1 $ dunque $L in (0,+\infty) $ da cui possiamo dire che
$a_n$ ha lo stesso carattere di $b_n$
sia allora $b_n= \sum_{n=1}^\infty 1/(2n^2) $ una serie armonica che necessariamente converge , allora anche
$\sum_{n=1}^\infty (1/n−ln(n+1/n))$ convergerà
Spero di essere stato d'aiuto
$\sum_{n=1}^\infty (1/n−ln(n+1/n))$
Innanzitutto tu vuoi dimostrare che tale serie è a termini non negativi
Sappiamo che: una serie sarà a termini non negativi se $AA n in NN$ avremo che $a_n>=0$
consideriamo $ a_n =(1/n−ln((n+1)/n)) >=0 $
per le proprietà dei logaritmi sappiamo che $ ln((n+1)/n) = ln(n+1)-ln(n) $
allora avremo che $(1/n−ln((n+1)/n)) = 1/n-ln(n+1)+ln(n)>=0$
dobbiamo allora verificare che $1+n*ln(n)>=n*ln(n+1)$
otteniamo così
$ ln(n)^n>=ln(n+1)^n-1$
$ e^(ln(n)^n)>=e^(ln(n+1)^n-1$
sappiamo che $ e^(ln(n)^n) = e^(n*ln(n)) = n^n$
otteniamo così
$n^n>=((n+1)^n)/e $
$e*n^n>=(n+1)^n$ posso allora facilmente verificare che $AA n in NN$ tale uguaglianza sarà verificata.
Detto ciò , possiamo proseguire con lo studio della nostra serie , verifichiamo la condizione necessaria di Cauchy per la convergenza di una serie
$lim_(n->\infty)(1/n−ln((n+1)/n))= 0$
Verificata così la condizione , nulla possiamo dire ancora sulla convergenza della nostra serie. Consideriamo allora
$1/n-ln((n+1)/n) ~~ 1/2n^2$
sia allora $b_n=1/(2n^2)$ consideriamo $lim_(n->\infty) a_n/b_n $
$lim_(n->\infty) (1/n−ln(n+1/n))2n^2 =1 $ avremo allora che $ L=1 $ dunque $L in (0,+\infty) $ da cui possiamo dire che
$a_n$ ha lo stesso carattere di $b_n$
sia allora $b_n= \sum_{n=1}^\infty 1/(2n^2) $ una serie armonica che necessariamente converge , allora anche
$\sum_{n=1}^\infty (1/n−ln(n+1/n))$ convergerà
Spero di essere stato d'aiuto

Sei stato incredibilmente bravo! Complimenti... era quello che cercavo... ma come hai fatto?!?! Grazie per la pazienza.
Tutto chiarissimo a parte questi due punti.
Sto cercando di eliminare la ruggine dai neuroni, vista la mia età!
Non capisco come verificare questa disuguaglianza che senz'altro sarà banale.
Il procedimento successivo è chiarissimo ma non capisco come si fa ad asserire che è $~~ 1/2n^2$, come si calcola questo valore?! Non mi torna, forse ciò è dovuto alla mia carenza nel calcolo dei limiti?
Tutto chiarissimo a parte questi due punti.
Sto cercando di eliminare la ruggine dai neuroni, vista la mia età!
$e*n^n>=(n+1)^n$ posso allora facilmente verificare che $AA n in NN$ tale uguaglianza sarà verificata.
Non capisco come verificare questa disuguaglianza che senz'altro sarà banale.
Verificata così la condizione , nulla possiamo dire ancora sulla convergenza della nostra serie. Consideriamo allora
$1/n-ln((n+1)/n) ~~ 1/2n^2$
Il procedimento successivo è chiarissimo ma non capisco come si fa ad asserire che è $~~ 1/2n^2$, come si calcola questo valore?! Non mi torna, forse ciò è dovuto alla mia carenza nel calcolo dei limiti?
Per la prima parte , in maniera molto semplice possiamo vederla in questo modo
$e⋅n^n≥(n+1)^n $
$(e⋅n^n)/(n+1)^n≥1$
sappiamo che $(n/(n+1))^n = (1-1/(n+1))^n$
dunque $e*(1-1/(n+1))^n>=1$
in particolare $AA n in NN$ avremo che la quantità $1-1/(n+1)$ sarà sempre positiva , perchè $1/(n+1)$ sarà sempre più piccolo di 1
detto ciò sicuramente avremo che $e*(1-1/(n+1))^n>=1$ è verificata
Per il secondo dubbio, dovresti rispolverarti un po' gli sviluppi in serie di Taylor e McLaurin , subito ti sarà chiaro.
$e⋅n^n≥(n+1)^n $
$(e⋅n^n)/(n+1)^n≥1$
sappiamo che $(n/(n+1))^n = (1-1/(n+1))^n$
dunque $e*(1-1/(n+1))^n>=1$
in particolare $AA n in NN$ avremo che la quantità $1-1/(n+1)$ sarà sempre positiva , perchè $1/(n+1)$ sarà sempre più piccolo di 1
detto ciò sicuramente avremo che $e*(1-1/(n+1))^n>=1$ è verificata
Per il secondo dubbio, dovresti rispolverarti un po' gli sviluppi in serie di Taylor e McLaurin , subito ti sarà chiaro.
Tutto chiarissimo.
Per il secondo dubbio credevo si potesse calcolare il valore senza ausilio sviluppo di Taylor/McLaurin. Se lo applico mi torna perfettamente. Complimento per la prima dimostrazione.
Per il secondo dubbio credevo si potesse calcolare il valore senza ausilio sviluppo di Taylor/McLaurin. Se lo applico mi torna perfettamente. Complimento per la prima dimostrazione.