Convergenza Serie: $sum_(n=1)^oo 1/sqrt(n) sin(1/n) x^n$

[zannas]

$sum_(n=1)^oo 1/sqrt(n) sin(1/n) x^n$ ovviamente è una serie di potenze.
Per studiare la sua convergenza ho fatto così: (ditemi dove è errato)
$lim_(n->oo) 1/root(2n)n sin(1/n)^(1/n) = 1$
quindi Raggio di convergenza = 1.
$=>{(text(converge per), |x|<1),(text(diverge per),|x|>1):}$
poi per $x=-1$
$f(t)=t^(-1/2) sin(1/t) => f'(t)=1/(2sqrt(t^3)t^2) cos(1/t) > 0 AA t in [0,oo[$
ma $1/(n+1) > 1/n$ quindi $f(t)$ è "percorsa" da 1 a $->0 => f(t)$ risulta descrescente $=>$ per il criterio di leibnitz la serie converge
per $x=1$ e qui ho dubbi su quello che ho fatto:
$sum_(n=1)^oo 1/sqrt(n) sin(1/n)$ osservo che $1/sqrt(n) > 1sqrt(n+1) AAn in [1,oo[$ e $sin(1/(n+1)) < sin(1/n) AA n in [1,oo[$
$=> lim_n (1/sqrt(n+1) sin(1/(n+1))) / (1/sqrt(n) sin(1/n)) < 1 => text(converge)$
ora sono insicuro dell'ultimo passaggio in quanto in realtà il $lim_n (1/sqrt(n+1) sin(1/(n+1))) / (1/sqrt(n) sin(1/n)) = 1$ e quindi non saprei se converge o meno..voi che dite?

PS: ci sono altri errori?

[alberto861]

per $x=1$ o usi il fatto che $\forall \alpha$ $\sin(\alpha)<\alpha$ oppure visto che hai un seno calcolato su un angolo che tende a zero dallo sviluppo di Taylor del seno hai $\sin(\frac{1}{n})=\frac{1}{n}+o(\frac{1}{n^2})$ e quindi in entrambi i casi la serie si stima con la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}$ che è una serie armonica convergente