Convergenza serie $\sum_{n=1}^\infty\frac{1-cos(x^n)}{n+1}$
Salve, vorrei chiedere un vostro parere riguardo a questa serie.
$\sum_{n=1}^\infty\frac{1-cos(x^n)}{n+1}$
In particolare, si chiede di trovare per quali $x$ la serie converge.
Non saprei proprio come procedere, quello che riesco a dire da un analisi preliminare è che il coseno è pari quindi potrei limitarmi a studiare gli $x>=0$.
Nel caso x=0 avrei
$\sum_{n=1}^\infty\frac{0}{n+1}$ e tutta la serie andrebbe a zero (quindi converge??)
Nel caso x=pi/2 otterrei
$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n+1}$ $~$ $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ quindi divergente
detto questo non saprei più dove sbattere la testa. Con i criteri di convergenza non riesco a vedere possibili soluzioni.
$\sum_{n=1}^\infty\frac{1-cos(x^n)}{n+1}$
In particolare, si chiede di trovare per quali $x$ la serie converge.
Non saprei proprio come procedere, quello che riesco a dire da un analisi preliminare è che il coseno è pari quindi potrei limitarmi a studiare gli $x>=0$.
Nel caso x=0 avrei
$\sum_{n=1}^\infty\frac{0}{n+1}$ e tutta la serie andrebbe a zero (quindi converge??)
Nel caso x=pi/2 otterrei
$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n+1}$ $~$ $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ quindi divergente
detto questo non saprei più dove sbattere la testa. Con i criteri di convergenza non riesco a vedere possibili soluzioni.
Risposte
Beh, innanzitutto, guarda che succede per \(-1
Per gli \(x>1\) e \(x\leq -1\) la situazione è più complicata, perché \(\cos x^n\) fa cose strane al limite.
(Inoltre nota che per \(x=\pi/2\) la situazione non è quella descritta da te!
)
Per gli \(x>1\) e \(x\leq -1\) la situazione è più complicata, perché \(\cos x^n\) fa cose strane al limite.
(Inoltre nota che per \(x=\pi/2\) la situazione non è quella descritta da te!
)
Si hai ragione, quello che ho scritto per x=pi/2 non ha senso. Mi sono scordato che $x$ è elevato alla $n$
Mi verrebbe da dire che essendo la funzione coseno limitata [-1,1] $AA$$x$ $in$ $RR$
quindi
$ \sum_{n=1}^\infty\frac{1-cos(x^n)}{n+1} $ -> $ \sum_{n=1}^\infty\frac{0^+}{n+1} $
ma sono di nuovo punto e a capo.
Chiedo perdono se sto scrivendo profanità ma non riesco a vedere la via d'uscita.
Mi verrebbe da dire che essendo la funzione coseno limitata [-1,1] $AA$$x$ $in$ $RR$
quindi
$ \sum_{n=1}^\infty\frac{1-cos(x^n)}{n+1} $ -> $ \sum_{n=1}^\infty\frac{0^+}{n+1} $
ma sono di nuovo punto e a capo.
Chiedo perdono se sto scrivendo profanità ma non riesco a vedere la via d'uscita.
Forse può essersi di aiuto ricordare che $1-\cos(2\theta)=2\sin^2(\theta)$
Semplicemente, per \(|x|<1\) hai \(x^n \to 0\), dunque per Taylor:
\[
\frac{1-\cos x^n}{n+1}\sim \frac{x^{2n}}{2(n+1)}
\]
e la serie \(\sum \frac{x^{2n}}{2(n+1)}\) converge per il criterio della radice.
Per gli altri valori di \(x\) non ci dovrebbe essere convergenza.
\[
\frac{1-\cos x^n}{n+1}\sim \frac{x^{2n}}{2(n+1)}
\]
e la serie \(\sum \frac{x^{2n}}{2(n+1)}\) converge per il criterio della radice.
Per gli altri valori di \(x\) non ci dovrebbe essere convergenza.
Grazie infinite!
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