Convergenza serie sin(kx)/k

[PL3]

come si fa a provare la convergenza della serie $ sum({sin(kx)}/{k}) $ senza sfruttare il teorema di convergenza sulla serie di Fourier?

PS come faccio a mettere gli indici alla sommatoria?

[Cauchy1]

Allora... io direi che, siccome |sin(kx)|<=1


$ ∑(|sin(kx)/k|)<= ∑ (|1/k|) $ che converge...

Sbaglio??

[Thomas16]

"Cauchy":Allora... io direi che, siccome |sin(kx)|<=1


$ ∑(|sin(kx)/k|)<= ∑ (|1/k|) $ che converge...

Sbaglio??

si .... la serie armonica diverge!

[Cauchy1]

Eheh.. ops... hai ragione... eheh... mi ero appena svegliato

[Thomas16]

più che giusto

[fabry1985mi]

La soluzione di questo esercizio senza serie di Fourier discende dal criterio di Dirichlet usato come in questo post: https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... ht=#127271
Se non dovesse essere chiaro scrivetemi che svolgo l'esercizio per intero.

[PL3]

il teorema dovrebbe essere questo:

1. $sum_(k=1)^n a_k$ : limitata
2. $b_k >= 0$ $AA k$
3. $b_k$: decrescente
4. $b_k$: infinitesima

$sum_(k=1)^(∞) a_k b_k$ converge

io lo conoscevo sotto il nome generico di "teorema di Abel".

Facendo riferimento alla nomenclatura utilizzata, scelgo $1/k$ come $b_k$ e ho che le ipotesi 2, 3, 4 sono verificate, però non riesco a provare che $sum_(k=1)^n sin(kx)$ è limitata...

[fabry1985mi]

"PL":il teorema dovrebbe essere questo:

1. $sum_(k=1)^n a_k$ : limitata
2. $b_k >= 0$ $AA k$
3. $b_k$: decrescente
4. $b_k$: infinitesima

$sum_(k=1)^(∞) a_k b_k$ converge

io lo conoscevo sotto il nome generico di "teorema di Abel".

Facendo riferimento alla nomenclatura utilizzata, scelgo $1/k$ come $b_k$ e ho che le ipotesi 2, 3, 4 sono verificate, però non riesco a provare che $sum_(k=1)^n sin(kx)$ è limitata...

Per quanto riguarda il nome del criterio io lo chiamo alle volte Criterio di Sommazione Per Parti perchè è da lì che discende. Inoltre manca il valore assoluto $|sum_(k=1)^n sin(kx)|<=M$. Sono d'accordo con te che non riesci a trovare una costante $M$ che maggiori la somma, ciò nonostante essendo $sin(kx)$ limitato e a segni non costanti, almeno euristicamente puoi immaginare che $forall n in mathbb{N}$ il valore assoluto della somma resti limitato.

[PL3]

"fabry1985mi":ciò nonostante essendo $sin(kx)$ limitato e a segni non costanti, almeno euristicamente puoi immaginare che $forall n in mathbb{N}$ il valore assoluto della somma resti limitato.

bisognerebbe dimostrarlo, perchè ad un primo impatto direi che non resta limitata! il periodo della funzione somma è $2 pi$; pensa all'intervallo $[-pi, pi]$: all'aumentare di $k$, il primo massimo della funzione $sin(kx)$ si avvicina all'origine, in quanto aumenta la frequenza di oscillazione (formalmente si vede studiando la derivata, ma è ovvio). I massimi quindi si accumulano all'origine, dunque nei pressi dell'origine la funzione somma avrà massimi sempre più grossi (e sempre più vicini all'origine stessa)! Questo poi nella serie completa di 1/k darà luogo al cosiddetto fenomeno di Gibbs attenuato dalla minore importanza assunta dalle armoniche superiori.

andamento di $sum_(k=1)^n sin(kx)$ per n=10


andamento per n successivi (10, 50, 100, 200... 800)


Come si potrebbe dimostrare? studiare il massimo penso sia impossibile, visto che equivale a studiare gli zeri di una serie di coseni!

[Sk_Anonymous]

In https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=16229 si è trovato che in $0
$B_1(x)= x-1/2=-1/pi*sum_(k=1)^(oo) sin (2pikx)/k$ (1)

Operando la sostituzione $alpha=2pix$, in $0
$B_1(alpha)= alpha/(2pi)-1/2= -1/pi* sum_(k=1)^(oo) sin (kalpha)/k$ (2)

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

[PL3]

"lupo grigio":In https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=16229 si è trovato che in $0
$B_1(x)= x-1/2=-1/pi*sum_(k=1)^(oo) sin (2pikx)/k$ (1)

Operando la sostituzione $alpha=2pix$, in $0
$B_1(alpha)= alpha/(2pi)-1/2= -1/pi* sum_(k=1)^(oo) sin (kalpha)/k$ (2)

Questo discende dalla serie di Fourier, no? io volevo provare la convergenza di $sum sin(kx)/k$ senza sfruttare le ipotesi sulla convergenza della serie di Fourier, perchè studiando appunto lo sviluppo in serie di Fourier mi sono sorti alcuni dubbi sulla minima velocità con cui i coefficienti devono tendere a zero affinchè la serie risulti convergente.

[PL3]

Nessuna idea? cioè... si può dimostrare la convergenza di $∑sin(kx)/k$ solo ricorrendo al fatto che è sviluppo in serie di Fourier di una funzione che soddisfa le ipotesi di convergenza?..