Convergenza serie quando includere gli estremi

[Goldent]

Buongiorno a tutti,
la serie $ sum_{n=2}^(\infty) (-1)^nx^n/ln(n) $

converge per |x|<1, ma agli estremi come si comporta?
Non riesco a capire quando e quali estremi includere nell'intervallo di convergenza.

Grazie

[pilloeffe]

Ciao Goldent,

La serie proposta

$ sum_{n=2}^{+\infty} (-1)^nx^n/ln(n) $

per il criterio del rapporto converge per $|x| < 1 $ come giustamente hai scritto.
Per vedere cosa accade agli estremi, occorre considerare i due casi $x = - 1 $ e $x = 1 $.
Per $x = - 1 $ la serie proposta diventa la seguente:

$ sum_{n=2}^{+\infty} 1/ln(n) > sum_{n=2}^{+\infty} 1/n $

e l'ultima scritta è la serie armonica privata del primo termine (quello che si ottiene per $ n = 1 $), notoriamente divergente.
Per $x = 1 $ la serie proposta diventa la seguente:

$ sum_{n=2}^{+\infty} (-1)^n/ln(n) $

Quest'ultima è una serie a segni alterni che soddisfa le ipotesi del criterio di Leibnitz, per cui è convergente.
Perciò in definitiva si ha:

\begin{equation*}
\boxed{\sum_{n=2}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^n}{\ln(n)} \quad \text{ converge per } - 1 < x \le 1}
\end{equation*}

[Goldent]

Grazie mille! Ora mi è chiaro!