Convergenza serie per un parametro
Ciao a tutti, preparandomi per un esame di analisi mi sono imbattuto in questo esercizio proveniente da una prova d'esame passata. Il problema è che ho forti dubbi su come risolverlo e soprattutto come risolverlo velocemente in modo da non esaurire tutto il tempo a disposizione in sede di esame.
Senza ulteriori indugi ecco il testo:
Stabilire per quali $ainRR$ converge la serie
$\sum_{n=2}^infty ((a-2)^n log^an)/(n)$
specificando per quali $a$ la convergenza è assoluta.
La prima cosa che mi viene in mente è studiare la serie per il "caso particolare" $a=1$ in modo da avere una serie a segni alterni e studiarne la convergenza assoluta (così da eliminare il termine oscillante $(-1)^n$ ). Quindi
$\sum_{n=2}^infty abs(((-1)^n logn)/(n))$ si riconduce a $\sum_{n=2}^infty abs((logn)/(n))$ riscrivibile come $\sum_{n=2}^infty abs(1/((n)log^-1n))$
che diverge per il confronto asintitico con la serie di Abel.
Sotto con la convergenza semplice per $a=1$:
che converge semplicemente per Leibniz (su questo non sono sicurissimo).
Per il resto non ho assolutamente idea di come procedere (per di più in modo efficiente) per gli altri valori di $a$. Per esempio per $a=2$ la serie diventa
$ \sum_{n=2}^infty ((0)^n log^2n)/(n) $
per la quale direi che se $(0)^n$ converge a 0, allora tutti i termini della successione vanno a 0. Quindi converge. (è giusto
)??
E per quanto riguarda i valori intermedi ($12$, $a<1$ e altri intervalli)???
Grazie per qualsiasi risposta e in caso abbia scritto qualche castroneria segnalatemelo!
Senza ulteriori indugi ecco il testo:
Stabilire per quali $ainRR$ converge la serie
$\sum_{n=2}^infty ((a-2)^n log^an)/(n)$
specificando per quali $a$ la convergenza è assoluta.
La prima cosa che mi viene in mente è studiare la serie per il "caso particolare" $a=1$ in modo da avere una serie a segni alterni e studiarne la convergenza assoluta (così da eliminare il termine oscillante $(-1)^n$ ). Quindi
$\sum_{n=2}^infty abs(((-1)^n logn)/(n))$ si riconduce a $\sum_{n=2}^infty abs((logn)/(n))$ riscrivibile come $\sum_{n=2}^infty abs(1/((n)log^-1n))$
che diverge per il confronto asintitico con la serie di Abel.
Sotto con la convergenza semplice per $a=1$:
che converge semplicemente per Leibniz (su questo non sono sicurissimo).
Per il resto non ho assolutamente idea di come procedere (per di più in modo efficiente) per gli altri valori di $a$. Per esempio per $a=2$ la serie diventa
$ \sum_{n=2}^infty ((0)^n log^2n)/(n) $
per la quale direi che se $(0)^n$ converge a 0, allora tutti i termini della successione vanno a 0. Quindi converge. (è giusto
)??E per quanto riguarda i valori intermedi ($1
Grazie per qualsiasi risposta e in caso abbia scritto qualche castroneria segnalatemelo!
Risposte
Ciao j.a.c.k.,
Avrei più semplicemente considerato subito la serie assoluta $ sum_{n=2}^{+\infty} (|a-2|^n log^a n)/(n) $ e poi applicato il criterio del rapporto:
$ lim_{n \to +infty} |frac{c_{n + 1}}{c_n}| = lim_{n \to +infty} frac{frac{|a-2|^{n + 1} log^a (n + 1)}{n + 1}}{frac{|a-2|^n log^a n}{n}} = |a - 2| lim_{n \to +infty} frac{n}{n + 1} \cdot (frac{log(n + 1)}{log n})^a = $
$ = |a - 2| lim_{n \to +infty} frac{n}{n + 1} \cdot (frac{log n(1 + 1/n)}{log n})^a = |a - 2| lim_{n \to +infty} frac{n}{n + 1} \cdot (frac{log n + log(1 + 1/n)}{log n})^a = $
$ = |a - 2| lim_{n \to +infty} frac{n}{n + 1} \cdot (1 + frac{log(1 + 1/n)}{log n})^a $
Dunque la serie proposta converge assolutamente, e quindi anche semplicemente, per $|a - 2| < 1 \iff 1 < a < 3 $
Di conseguenza converge senz'altro semplicemente a $0 $ per $ a = 2 $.
A questo punto andiamo ad analizzare il comportamento della serie proposta in $a = 1 $ e in $a = 3 $.
Per $a = 1 $ la serie proposta diventa la seguente:
$ sum_{n=2}^{+\infty} (-1)^n (log n)/(n) $
Quest'ultima serie converge per il criterio di Leibnitz. D'altronde si può dimostrare che si ha:
$ sum_{n=2}^{+\infty} (-1)^n (log n)/(n) = (1/2 log 2)(2\gamma - log 2) = (log sqrt{2}) (2\gamma - log 2) ~= 0,16 $
ove $\gamma = 0,57721566490153286060... $ è la costante di Eulero-Mascheroni.
Per $a = 3 $ la serie proposta diventa la seguente:
$ sum_{n=2}^{+\infty} frac{log^3 n}{n} = frac{log^3 2}{2} + sum_{n=3}^{+\infty} frac{log^3 n}{n} > frac{log^3 2}{2} + sum_{n=3}^{+\infty} frac{1}{n} $
L'ultima scritta è la serie armonica privata dei primi due termini (quelli che si ottengono per $n = 1 $ e per $n = 2 $), che come è noto è positivamente divergente. Per $a > 3 $ la serie proposta non soddisfa la condizione necessaria di convergenza di Cauchy, infatti si ha $ lim_{n \to +infty} c_n = lim_{n \to +infty} ((a-2)^n log^a n)/(n) \ne 0 $, per cui la serie proposta non può convergere ed essendo a termini positivi è senz'altro positivamente divergente. Per $a < 1 $, ad esempio per $a = 0 $ per fissare le idee, la serie proposta non soddisfa la condizione necessaria di convergenza di Cauchy, infatti si ha $ lim_{n \to +infty} c_n = lim_{n \to +infty} ((a-2)^n log^a n)/(n) \ne 0 $, per cui la serie proposta non può convergere.
Avrei più semplicemente considerato subito la serie assoluta $ sum_{n=2}^{+\infty} (|a-2|^n log^a n)/(n) $ e poi applicato il criterio del rapporto:
$ lim_{n \to +infty} |frac{c_{n + 1}}{c_n}| = lim_{n \to +infty} frac{frac{|a-2|^{n + 1} log^a (n + 1)}{n + 1}}{frac{|a-2|^n log^a n}{n}} = |a - 2| lim_{n \to +infty} frac{n}{n + 1} \cdot (frac{log(n + 1)}{log n})^a = $
$ = |a - 2| lim_{n \to +infty} frac{n}{n + 1} \cdot (frac{log n(1 + 1/n)}{log n})^a = |a - 2| lim_{n \to +infty} frac{n}{n + 1} \cdot (frac{log n + log(1 + 1/n)}{log n})^a = $
$ = |a - 2| lim_{n \to +infty} frac{n}{n + 1} \cdot (1 + frac{log(1 + 1/n)}{log n})^a $
Dunque la serie proposta converge assolutamente, e quindi anche semplicemente, per $|a - 2| < 1 \iff 1 < a < 3 $
Di conseguenza converge senz'altro semplicemente a $0 $ per $ a = 2 $.
A questo punto andiamo ad analizzare il comportamento della serie proposta in $a = 1 $ e in $a = 3 $.
Per $a = 1 $ la serie proposta diventa la seguente:
$ sum_{n=2}^{+\infty} (-1)^n (log n)/(n) $
Quest'ultima serie converge per il criterio di Leibnitz. D'altronde si può dimostrare che si ha:
$ sum_{n=2}^{+\infty} (-1)^n (log n)/(n) = (1/2 log 2)(2\gamma - log 2) = (log sqrt{2}) (2\gamma - log 2) ~= 0,16 $
ove $\gamma = 0,57721566490153286060... $ è la costante di Eulero-Mascheroni.
Per $a = 3 $ la serie proposta diventa la seguente:
$ sum_{n=2}^{+\infty} frac{log^3 n}{n} = frac{log^3 2}{2} + sum_{n=3}^{+\infty} frac{log^3 n}{n} > frac{log^3 2}{2} + sum_{n=3}^{+\infty} frac{1}{n} $
L'ultima scritta è la serie armonica privata dei primi due termini (quelli che si ottengono per $n = 1 $ e per $n = 2 $), che come è noto è positivamente divergente. Per $a > 3 $ la serie proposta non soddisfa la condizione necessaria di convergenza di Cauchy, infatti si ha $ lim_{n \to +infty} c_n = lim_{n \to +infty} ((a-2)^n log^a n)/(n) \ne 0 $, per cui la serie proposta non può convergere ed essendo a termini positivi è senz'altro positivamente divergente. Per $a < 1 $, ad esempio per $a = 0 $ per fissare le idee, la serie proposta non soddisfa la condizione necessaria di convergenza di Cauchy, infatti si ha $ lim_{n \to +infty} c_n = lim_{n \to +infty} ((a-2)^n log^a n)/(n) \ne 0 $, per cui la serie proposta non può convergere.
Grazie mille per la risposta super esauriente!
A quanto pare ho proprio evitato di usare il metodo del rapporto per il fatto che mi sta "antipatico" e non ho usato la condizione di Cauchy per le serie per valutare la serie per valori di $a<1$ e $a>3$
Un paio di domande che mi sono sorte ri-svolgendo l'esercizio con la tua traccia:
1) Nel valutare la convergenza assoluta e applicando il criterio del rapporto, quando valutiamo
$ |a - 2| lim_{n \to +infty} frac{n}{n + 1} \cdot (1 + frac{log(1 + 1/n)}{log n})^a $
perchè la parte
$ (1 + frac{log(1 + 1/n)}{log n})^a $ tende a 1?
$frac{log(1 + 1/n)}{log n}$ non dovrebbe essere una forma d'indecisione $0/infty$? Mi sto dimenticando qualcosa?
2) Valutando la convergenza con Leibnitz per $a=1$ mi sfugge la base teorica della tua dimostrazione con la costante di Eulero-Mascheroni.
Nella mia rielaborazione ho valutato la funzione monotona non crescente studiando il segno della derivata prima della successione (opportunamente considerata come funzione).
$ sum_{n=2}^{+\infty} (-1)^n a_n $ (log n)/(n) dove $a_n = (log n)/(n)$
Quindi
$f(x)=logx/x$
$f'(x)=(1-logx)/x^2$ decrescente per $x>e$
tu dirai: "ma $e>2$, quindi c'è una porzione per $2
)
E' corretto questo approccio?
3) Per $a=3$ la serie si riduce a
$ sum_{n=2}^{+\infty} frac{log^3 n}{n}$
Come risoluzione alternativa (e per me più immediata) è corretto trasformarla nella serie
$ sum_{n=2}^{+\infty} frac{1}{nlog^-3 n}$
e valutarne il comportmento per confronto asintotico (divergente) con la serie di Abel?
Grazie ancora per la risposta e per la pazienza infinita!
Buon week end!
A quanto pare ho proprio evitato di usare il metodo del rapporto per il fatto che mi sta "antipatico" e non ho usato la condizione di Cauchy per le serie per valutare la serie per valori di $a<1$ e $a>3$
Un paio di domande che mi sono sorte ri-svolgendo l'esercizio con la tua traccia:
1) Nel valutare la convergenza assoluta e applicando il criterio del rapporto, quando valutiamo
$ |a - 2| lim_{n \to +infty} frac{n}{n + 1} \cdot (1 + frac{log(1 + 1/n)}{log n})^a $
perchè la parte
$ (1 + frac{log(1 + 1/n)}{log n})^a $ tende a 1?
$frac{log(1 + 1/n)}{log n}$ non dovrebbe essere una forma d'indecisione $0/infty$? Mi sto dimenticando qualcosa?
2) Valutando la convergenza con Leibnitz per $a=1$ mi sfugge la base teorica della tua dimostrazione con la costante di Eulero-Mascheroni.
Nella mia rielaborazione ho valutato la funzione monotona non crescente studiando il segno della derivata prima della successione (opportunamente considerata come funzione).
$ sum_{n=2}^{+\infty} (-1)^n a_n $ (log n)/(n) dove $a_n = (log n)/(n)$
Quindi
$f(x)=logx/x$
$f'(x)=(1-logx)/x^2$ decrescente per $x>e$
tu dirai: "ma $e>2$, quindi c'è una porzione per $2
)E' corretto questo approccio?
3) Per $a=3$ la serie si riduce a
$ sum_{n=2}^{+\infty} frac{log^3 n}{n}$
Come risoluzione alternativa (e per me più immediata) è corretto trasformarla nella serie
$ sum_{n=2}^{+\infty} frac{1}{nlog^-3 n}$
e valutarne il comportmento per confronto asintotico (divergente) con la serie di Abel?
Grazie ancora per la risposta e per la pazienza infinita!
Buon week end!
"j.a.c.k.":
Grazie mille per la risposta super esauriente!
Prego!
Veniamo alle tue domande:
1)
"j.a.c.k.":
non dovrebbe essere una forma d'indecisione $0/infty $?
La forma di indecisione che hai citato non esiste, il rapporto $ frac{log(1 + 1/n)}{log n} $ tende a $0 $, per cui $(1 + frac{log(1 + 1/n)}{log n})^a $ tende a $1 \quad \AA a \in \RR $
"j.a.c.k.":
mi sfugge la base teorica della tua dimostrazione con la costante di Eulero-Mascheroni.
Beh, è normale che ti sfugga: non l'ho fatta e neanche mi sembrava opportuno perché comunque non è "da Analisi I"...
Era solo per mostrarti che la serie effettivamente converge, ma sono certo che il tuo professore si accontenterà del criterio di Leibnitz...
Per quanto riguarda il tuo approccio con la funzione decrescente è corretto.
3) Beh, se preferisci... Alla fine il risultato è lo stesso: la serie è positivamente divergente.
Ti ringrazio perchè mi hai levato un sacco di dubbi sui procedimenti corretti da seguire! Sei stato stra disponibile
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