Convergenza Serie Numeriche
Preparando l'esame di Analisi Matematica II ho risolto delle serie sulle quali ho alcuni dubbi.
Volevo chiedervi una conferma sui passaggi che ho fatto (o che dovrei fare) per risolvere i seguenti esercizi. I risultati delle serie sono giusti perchè li ho confrontati con quelli dati dalla dispensa da cui le ho prese, vorrei solo essere certo dei passagi fatti.
Le serie sono:
$sum_{k=1}^infty 1- sqrt(e) (cos (1/k))^(k^2)$
Io ho applicato Taylor poichè $ k rarr +infty $ e quindi ho riscritto $ a_k = 1- sqrt(e) [(1- 1/(2k^2))^(-2k^2)]^(-1/2) $ quindi per $ k rarr +infty $ ho che $ a_k = o $
Questo però non mi permette di dire che sia convergente...come posso essere certo che lo sia?
$sum_{n=1}^infty 6/3^n + (-1)^(n+1) / 4^n $
Posso direttamente dire che, poichè la serie è data dalla somma di due serie convergenti, è sempre convergente?!?
$sum_{k=1}^infty n^sqrt n / e^(n^2) $
Io ho riscritto $ n^sqrtn = e^(sqrt (n) ln n) $ quindi ho ottenuto che:
$ a_n = e^(sqrt n ln n -n^2) = e^(n^2 (sqrtn /n ln n /n -1) $ che per $ n rarr infty $ è asinotico a: $ a_n ~ e^(-n^2) = 1/ e^(n^2) < 1/(n^2) => $ la serie è convergente
Vi ringrazio in anticipo...
Volevo chiedervi una conferma sui passaggi che ho fatto (o che dovrei fare) per risolvere i seguenti esercizi. I risultati delle serie sono giusti perchè li ho confrontati con quelli dati dalla dispensa da cui le ho prese, vorrei solo essere certo dei passagi fatti.
Le serie sono:
$sum_{k=1}^infty 1- sqrt(e) (cos (1/k))^(k^2)$
Io ho applicato Taylor poichè $ k rarr +infty $ e quindi ho riscritto $ a_k = 1- sqrt(e) [(1- 1/(2k^2))^(-2k^2)]^(-1/2) $ quindi per $ k rarr +infty $ ho che $ a_k = o $
Questo però non mi permette di dire che sia convergente...come posso essere certo che lo sia?
$sum_{n=1}^infty 6/3^n + (-1)^(n+1) / 4^n $
Posso direttamente dire che, poichè la serie è data dalla somma di due serie convergenti, è sempre convergente?!?
$sum_{k=1}^infty n^sqrt n / e^(n^2) $
Io ho riscritto $ n^sqrtn = e^(sqrt (n) ln n) $ quindi ho ottenuto che:
$ a_n = e^(sqrt n ln n -n^2) = e^(n^2 (sqrtn /n ln n /n -1) $ che per $ n rarr infty $ è asinotico a: $ a_n ~ e^(-n^2) = 1/ e^(n^2) < 1/(n^2) => $ la serie è convergente
Vi ringrazio in anticipo...
Risposte
Sulle ultime due i ragionamenti sono corretti a mio giudizio.
Sulla prima non l'ho capito..
Sulla prima non l'ho capito..
Grazie della risposta.
Sulla prima io ho pensato di usare Taylor. Quindi:
$ cos(1/k)= 1- 1/(2 k^2) $
Di conseguenza l'ho sostituito in $ a_k = 1- sqrt(e) (cos(1/k))^(k^2) = 1- sqrt(e) (1- 1/(2k^2))^(k^2)= 1- sqrt(e) [(1- 1/(2k^2))^-(2k^2)]^-(1/2) $
Passando al limite $ x to infty $ ottengo $ a_k = 1- sqrt(e) 1/(sqrt(e)) = 0 $
In pratica, se non ho sbagliato, sono riuscito a dire che $ "a_k to 0 $. Però io so che "se una serie è convergente allora $a_k to 0 $ " ma non è detto che se $ a_k to 0 $ la serie converge. Quindi di conseguenza mi accorgo che non posso dire nulla circa la convergenza (o meno) della serie. Sbaglio a dire questo?!? Se non sbaglio...allora mi piacerebbe capire come trattare questa serie per capire la sua convergenza..
Grazie Mille...
Sulla prima io ho pensato di usare Taylor. Quindi:
$ cos(1/k)= 1- 1/(2 k^2) $
Di conseguenza l'ho sostituito in $ a_k = 1- sqrt(e) (cos(1/k))^(k^2) = 1- sqrt(e) (1- 1/(2k^2))^(k^2)= 1- sqrt(e) [(1- 1/(2k^2))^-(2k^2)]^-(1/2) $
Passando al limite $ x to infty $ ottengo $ a_k = 1- sqrt(e) 1/(sqrt(e)) = 0 $
In pratica, se non ho sbagliato, sono riuscito a dire che $ "a_k to 0 $. Però io so che "se una serie è convergente allora $a_k to 0 $ " ma non è detto che se $ a_k to 0 $ la serie converge. Quindi di conseguenza mi accorgo che non posso dire nulla circa la convergenza (o meno) della serie. Sbaglio a dire questo?!? Se non sbaglio...allora mi piacerebbe capire come trattare questa serie per capire la sua convergenza..
Grazie Mille...
Nessuno che mi possa dare una mano con questa serie... 
Provo ad aiutarti.
Hai già provato che \(\displaystyle \underset{x \rightarrow \infty}{\lim}\left[cos\left( \frac{1}{x}\right)\right]^{x^2}=\frac{1}{\sqrt{e}}\)
Adesso calcoliamo il seguente limite:
\( \displaystyle \underset{x \rightarrow \infty}{\lim} x^2\left[1-\sqrt{e}\left(cos\left(\frac{1}{x}\right)\right)^{x^{2}}\right]=\underset{x \rightarrow 0}{\lim}\frac{1-\sqrt{e}\left(cos\left(x\right)\right)^{\frac{1}{x^{2}}}}{x^2}\overset{H}{=}\underset{x \rightarrow 0}{\lim}\frac{\sqrt{e}\left(cos(x)\right)^{\frac{1}{x^{2}}}\left[\frac{2log(cos(x))}{x^{3}}+\frac{tan(x)}{x^{2}}\right]}{2x}\)
\( \displaystyle\frac{1}{2} \underset{x \rightarrow 0}{\lim}\frac{2log(cos(x))+xtan(x)}{x^{4}}\)
Sviluppo di \( tan(x)\) (ometto per brevità i calcoli):
\( (tan(x))_{x=0}=0\), \( (tan(x))'_{x=0}=1\),\( (tan(x))''_{x=0}=0\),\( (tan(x))'''_{x=0}=2\)
quindi:
\( \displaystyle tan(x)=x+\frac{1}{3}x^3+o(x^3)\)
\( \displaystyle xtan(x)=x^2+\frac{1}{3}x^4+o(x^4)\)
Sviluppo di \(log(cos(x))\):
\( (log(cos(x)))_{x=0}\),\( (log(cos(x)))'_{x=0}=0\),\( (log(cos(x)))''_{x=0}=-1\),
\( (log(cos(x)))'''_{x=0}=0\),\( (log(cos(x)))^{IV}_{x=0}=-2\)
quindi:
\( \displaystyle log(cos(x))=-\frac{x^2}{2}-\frac{1}{12}x^4+o(x^4)\)
\( \displaystyle\frac{1}{2} \underset{x \rightarrow 0}{\lim}\frac{2log(cos(x))+xtan(x)}{x^{4}}=\frac{1}{2} \underset{x \rightarrow 0}{\lim}\frac{-x^2-\frac{1}{6}x^4+x^2+\frac{1}{3}x^4+o(x^4)}{x^4}=\frac{1}{2} \underset{x \rightarrow 0}{\lim}\frac{\frac{1}{6}x^4+o(x^4)}{x^4}=\frac{1}{12}\).
Quindi abbiamo pure:
\(\displaystyle \underset{x \rightarrow \infty}{\lim}k^2\left(1-\left(\sqrt{e}cos\left(\frac{1}{k}\right)\right)^{\frac{1}{k^{2}}}\right)=\frac{1}{12}\)
quindi la serie proposta ha lo stesso carattere della serie di termine generale \(\displaystyle \frac{1}{k^2}\) cioè converge.
Hai già provato che \(\displaystyle \underset{x \rightarrow \infty}{\lim}\left[cos\left( \frac{1}{x}\right)\right]^{x^2}=\frac{1}{\sqrt{e}}\)
Adesso calcoliamo il seguente limite:
\( \displaystyle \underset{x \rightarrow \infty}{\lim} x^2\left[1-\sqrt{e}\left(cos\left(\frac{1}{x}\right)\right)^{x^{2}}\right]=\underset{x \rightarrow 0}{\lim}\frac{1-\sqrt{e}\left(cos\left(x\right)\right)^{\frac{1}{x^{2}}}}{x^2}\overset{H}{=}\underset{x \rightarrow 0}{\lim}\frac{\sqrt{e}\left(cos(x)\right)^{\frac{1}{x^{2}}}\left[\frac{2log(cos(x))}{x^{3}}+\frac{tan(x)}{x^{2}}\right]}{2x}\)
\( \displaystyle\frac{1}{2} \underset{x \rightarrow 0}{\lim}\frac{2log(cos(x))+xtan(x)}{x^{4}}\)
Sviluppo di \( tan(x)\) (ometto per brevità i calcoli):
\( (tan(x))_{x=0}=0\), \( (tan(x))'_{x=0}=1\),\( (tan(x))''_{x=0}=0\),\( (tan(x))'''_{x=0}=2\)
quindi:
\( \displaystyle tan(x)=x+\frac{1}{3}x^3+o(x^3)\)
\( \displaystyle xtan(x)=x^2+\frac{1}{3}x^4+o(x^4)\)
Sviluppo di \(log(cos(x))\):
\( (log(cos(x)))_{x=0}\),\( (log(cos(x)))'_{x=0}=0\),\( (log(cos(x)))''_{x=0}=-1\),
\( (log(cos(x)))'''_{x=0}=0\),\( (log(cos(x)))^{IV}_{x=0}=-2\)
quindi:
\( \displaystyle log(cos(x))=-\frac{x^2}{2}-\frac{1}{12}x^4+o(x^4)\)
\( \displaystyle\frac{1}{2} \underset{x \rightarrow 0}{\lim}\frac{2log(cos(x))+xtan(x)}{x^{4}}=\frac{1}{2} \underset{x \rightarrow 0}{\lim}\frac{-x^2-\frac{1}{6}x^4+x^2+\frac{1}{3}x^4+o(x^4)}{x^4}=\frac{1}{2} \underset{x \rightarrow 0}{\lim}\frac{\frac{1}{6}x^4+o(x^4)}{x^4}=\frac{1}{12}\).
Quindi abbiamo pure:
\(\displaystyle \underset{x \rightarrow \infty}{\lim}k^2\left(1-\left(\sqrt{e}cos\left(\frac{1}{k}\right)\right)^{\frac{1}{k^{2}}}\right)=\frac{1}{12}\)
quindi la serie proposta ha lo stesso carattere della serie di termine generale \(\displaystyle \frac{1}{k^2}\) cioè converge.
"totissimus":
Adesso calcoliamo il seguente limite:
\( \displaystyle \underset{x \rightarrow \infty}{\lim} x^2\left[1-\sqrt{e}\left(cos\left(\frac{1}{x}\right)\right)^{x^{2}}\right]=\underset{x \rightarrow 0}{\lim}\frac{1-\sqrt{e}\left(cos\left(x\right)\right)^{\frac{1}{x^{2}}}}{x^2}\overset{H}{=}\underset{x \rightarrow 0}{\lim}\frac{\sqrt{e}\left(cos(x)\right)^{\frac{1}{x^{2}}}\left[\frac{2log(cos(x))}{x^{3}}+\frac{tan(x)}{x^{2}}\right]}{2x}\)
\( \displaystyle\frac{1}{2} \underset{x \rightarrow 0}{\lim}\frac{2log(cos(x))+xtan(x)}{x^{4}}\)
Non ho capito il secondo passaggio, quello dove appare il logaritmo e anche la tangente!
Inoltre perchè stiamo studiando il limite iniziale che hai scritto? Ovvero il limite della $ a_k $ della mia serie moltiplicato per $x^2$.
Grazie della risposta...
Nessun ulteriore suggerimento...o nessuna spiegazione sul passaggio fatto da tottissimus...sinceramente non lo ho capito.
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