Convergenza serie numerica con coseno
Ciao ragazzi,
sono alle prese con lo studio del carattere della seguente serie al variare di $\gamma\in\mathbb{R}$ :
$$\sum_{n=1}^{+\infty}\left(cos\frac{1}{n^{\gamma}}\right)^n$$
Ho fatto diversi tentativi ma nessuno mi porta ad una conclusione:
- il limite per n che tende ad infinito del termine generale non è facilmente calcolabile;
- nessun criterio di convergenza (rapporto e radice) per le serie numeriche mi è d'aiuto;
- il criterio del confronto asintotico nemmeno dato che il termine cos è elevato alla $n$.
Credo debba adottare qualche altro stratagemma. Qualche indizio??
sono alle prese con lo studio del carattere della seguente serie al variare di $\gamma\in\mathbb{R}$ :
$$\sum_{n=1}^{+\infty}\left(cos\frac{1}{n^{\gamma}}\right)^n$$
Ho fatto diversi tentativi ma nessuno mi porta ad una conclusione:
- il limite per n che tende ad infinito del termine generale non è facilmente calcolabile;
- nessun criterio di convergenza (rapporto e radice) per le serie numeriche mi è d'aiuto;
- il criterio del confronto asintotico nemmeno dato che il termine cos è elevato alla $n$.
Credo debba adottare qualche altro stratagemma. Qualche indizio??
Risposte
Ciao mbistato,
Comincerei a distinguere i casi $\gamma < 0 $, $\gamma = 0 $ e $\gamma > 0 $. Ad esempio per $\gamma = 0 $ converge perché si tratta della serie geometrica di ragione $cos(1) < 1 $. Per $\gamma > 0 $ invece...
Comincerei a distinguere i casi $\gamma < 0 $, $\gamma = 0 $ e $\gamma > 0 $. Ad esempio per $\gamma = 0 $ converge perché si tratta della serie geometrica di ragione $cos(1) < 1 $. Per $\gamma > 0 $ invece...
Ciao pilloeffe e grazie per la risposta.
Per $\gamma>0$ dal limite del termine generale viene fuori la forma indeterminata $1^{\infty}$ che non credo si possa sciogliere facilmente. Inoltre, non mi viene in mente nessun'altra serie con cui confrontarla...
Per $\gamma>0$ dal limite del termine generale viene fuori la forma indeterminata $1^{\infty}$ che non credo si possa sciogliere facilmente. Inoltre, non mi viene in mente nessun'altra serie con cui confrontarla...
Per $\gamma > 0 $ la serie proposta può convergere solo se soddisfa la condizione necessaria di convergenza di Cauchy $lim_{n \to +infty} a_n = 0 $
avendo posto $a_n := (cos frac{1}{n^{\gamma}})^n $
Si ha:
$lim_{n \to +infty} a_n = lim_{n \to +infty} (cos frac{1}{n^{\gamma}})^n = lim_{n \to +infty} e^{n ln[cos(1/n^{\gamma})]} $
Per comodità prendiamo in considerazione solo l'esponente:
$ lim_{n \to +infty} n ln[cos(1/n^{\gamma})] = lim_{n \to +infty} frac{ ln sqrt{1 - sin^2(1/n^{\gamma})}}{1/n} = frac{1}{2} \cdot lim_{n \to +infty} frac{ ln[1 - sin^2(1/n^{\gamma})]}{1/n} = $
$ = frac{1}{2} \cdot lim_{n \to +infty} frac{ ln[1 - sin^2(1/n^{\gamma})]}{-sin^2(1/n^{\gamma})} \cdot frac{-sin^2(1/n^{\gamma})}{1/n} = $
$ = frac{1}{2} \cdot lim_{n \to +infty} frac{ ln[1 - sin^2(1/n^{\gamma})]}{-sin^2(1/n^{\gamma})} \cdot frac{-sin^2(1/n^{\gamma})}{(1/n^{\gamma})^2} \cdot frac{(1/n^{\gamma})^2}{1/n} = $
$ = frac{1}{2} \cdot lim_{n \to +infty} frac{ ln[1 - sin^2(1/n^{\gamma})]}{-sin^2(1/n^{\gamma})} \cdot frac{-sin^2(1/n^{\gamma})}{(1/n^{\gamma})^2} \cdot (1/n^{2\gamma - 1}) $
Il risultato di quest'ultimo limite dipende dall'ultimo fattore fra parentesi tonde. Per $\gamma \ge 1/2 $ il limite è nullo o è un numero finito per cui in entrambi i casi la serie proposta diverge in quanto $lim_{n \to +infty} a_n \ne 0 $
Dunque nel caso $\gamma ge 0$ la serie proposta può convergere (ed in effetti converge... ) solo per $0 \le \gamma < 1/2 $ (per tali valori di $\gamma $ il limite risulta $-\infty $ e quindi $lim_{n \to +infty} a_n = 0 $).
avendo posto $a_n := (cos frac{1}{n^{\gamma}})^n $
Si ha:
$lim_{n \to +infty} a_n = lim_{n \to +infty} (cos frac{1}{n^{\gamma}})^n = lim_{n \to +infty} e^{n ln[cos(1/n^{\gamma})]} $
Per comodità prendiamo in considerazione solo l'esponente:
$ lim_{n \to +infty} n ln[cos(1/n^{\gamma})] = lim_{n \to +infty} frac{ ln sqrt{1 - sin^2(1/n^{\gamma})}}{1/n} = frac{1}{2} \cdot lim_{n \to +infty} frac{ ln[1 - sin^2(1/n^{\gamma})]}{1/n} = $
$ = frac{1}{2} \cdot lim_{n \to +infty} frac{ ln[1 - sin^2(1/n^{\gamma})]}{-sin^2(1/n^{\gamma})} \cdot frac{-sin^2(1/n^{\gamma})}{1/n} = $
$ = frac{1}{2} \cdot lim_{n \to +infty} frac{ ln[1 - sin^2(1/n^{\gamma})]}{-sin^2(1/n^{\gamma})} \cdot frac{-sin^2(1/n^{\gamma})}{(1/n^{\gamma})^2} \cdot frac{(1/n^{\gamma})^2}{1/n} = $
$ = frac{1}{2} \cdot lim_{n \to +infty} frac{ ln[1 - sin^2(1/n^{\gamma})]}{-sin^2(1/n^{\gamma})} \cdot frac{-sin^2(1/n^{\gamma})}{(1/n^{\gamma})^2} \cdot (1/n^{2\gamma - 1}) $
Il risultato di quest'ultimo limite dipende dall'ultimo fattore fra parentesi tonde. Per $\gamma \ge 1/2 $ il limite è nullo o è un numero finito per cui in entrambi i casi la serie proposta diverge in quanto $lim_{n \to +infty} a_n \ne 0 $
Dunque nel caso $\gamma ge 0$ la serie proposta può convergere (ed in effetti converge... ) solo per $0 \le \gamma < 1/2 $ (per tali valori di $\gamma $ il limite risulta $-\infty $ e quindi $lim_{n \to +infty} a_n = 0 $).
Ecco lo stratagemma. Grazie!
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