CONVERGENZA SERIE NUMERICA

leodistefano · 2006-01-29CET10:31:02+01:00

"ciao raga, secondo voi la serie tra 1 e +inf\r\n\r\nlog(1+k^3)-log(k+k^3) \u00e8 convergente?\r\n\r\nla posso scrivere come log[(1+k^3)\//(k+k^3)] per\u00f2 come faccio a dimostrare che \u00e8 convergente?\r\nche criterio posso usare?\r\ngrazie 1000 a tutti!\r\nLEO"

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leodistefano

29 gen 2006, 10:31

ciao raga, secondo voi la serie tra 1 e +inf

log(1+k^3)-log(k+k^3) è convergente?

la posso scrivere come log[(1+k^3)/(k+k^3)] però come faccio a dimostrare che è convergente?
che criterio posso usare?
grazie 1000 a tutti!
LEO

Risposte

Sk_Anonymous

29 gen 2006, 10:00

Waiting for problems of greater appeal... Note that $a_k := \ln(1 + k^3) - \ln(k + k^3) = \ln\left(1 + \frac{1}{k}\right) + \ln\left(1 - \frac{k}{1+k^2}\right) \sim \frac{1}{k} - \frac{k}{1+k^2} \sim \frac{1}{k^3}$, as $k \to +\infty$. So $\sum_{k=1}^\infty a_k$ is convergent.

EDIT: non funziona, no! Molto mejo l'approccio descritto poco oltre da cavallipurosangue. Nella mia dissennata sconsideratezza, ho mescolato gli infinitesimi messi a confronto come non avrei dovuto. Uh, non male...

leodistefano

29 gen 2006, 10:09

scusa, mica ho capito xke hai scritto in inglese...cmq...
potresti spiegarmi meglio i passaggi? che indicano le scritte "sim" "right" "ft"?
grazie
leo

Sk_Anonymous

29 gen 2006, 10:19

Ho scritto in inglese perché stamattina mi sento molto lord...o! Ma questa è n'artra storia, sto d'accordo con te...

Beh, dunque... \infty è il tag LaTeX per l'infinito; \sim è la tipica ondina (tilda o tilde, fa' come ti pare!) con cui suolsi indicare l'equivalenza asintotica; in quanto ai tag \right e \left si usano semplicemente per adattare la dimensione delle parentesi al corpo del testo che vi è racchiuso all'interno. That's all...

leodistefano

29 gen 2006, 10:42

senti scusa se continuo a romperti ma non capisco questo passaggio:

ln≤ft(1+1/kright)+ln

e poi mi potresti dire se secondo te questa altra serie converge o diverge:

[k^2*ln((2k^2+4)/(2k^2+1)]^k

grazie 1000 leo

cavallipurosangue

29 gen 2006, 10:58

A me viene semplicemente in mente:
$\sum_{k=1}^{+\infty}\log({1+k^3}/{k+k^3})=\sum_{k=1}^{+\infty}\log(1+{1-k}/{k+k^3})\approx\sum_{k=1}^{+\infty}{1-k}/{k+k^3}\approx\sum_{k=1}^{+\infty}-{k}/{k^3}=\sum_{k=1}^{+\infty}-{1}/{k^2}$
Che come sappiamo converge assolutamente.

Sk_Anonymous

29 gen 2006, 11:04

"leodistefano":
[...] e poi mi potresti dire se secondo te questa altra serie converge o diverge: [k^2*ln((2k^2+4)/(2k^2+1)]^k

Beh, no... Al più posso dirti se converge, diverge o altro, però quel "secondo me" è inopportuno... Posto $a_k := (k^2*ln((2k^2+4)/(2k^2+1))^k $, per ogni $k \in \mathbb{N}$, vale $r := \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{a_k} = \lim_{k \to \infty} (k^2*ln((2k^2+4)/(2k^2+1))$. Eppure $k^2*ln((2k^2+4)/(2k^2+1) \sim 3k^2/(2k^2 + 1)$, as $k \to \infty$, e perciò $r = 3/2 > 1$. Adesso concludi usando il criterio della radice...

Sk_Anonymous

29 gen 2006, 11:13

"cavallipurosangue":
[...] $\sum_{k=1}^{+\infty}-{1}/{k^2}$.

In effetti hai ragione tu, ho scritto una castroneria: la serie converge come 1/k^2, temo di aver mischiato in modo improprio gli infinitesimi, sob...