Convergenza serie numerica

[lisacassidy]

Buongiorno. Avrei la seguente serie in cui devo verificare la convergenza al variare di $ alpha $

$ sum_(n=1)^(+oo) = 1/n*(1-cos(1/log(n^(3/2))))^alpha $

Qualche aiuto per iniziare?

[pilloeffe]

Ciao eleonoraponti,

"eleonoraponti":Qualche aiuto per iniziare?

Comincerei col vedere che cosa accade per $\alpha = 0 $ e poi distinguerei i casi $\alpha < 0 $ e $\alpha > 0 $

[lisacassidy]

Ok!!

allora:

$ alpha =0-> $ mi viene $ 1/n $ che è la serie armonica quindi diverge positivamente

$ alpha >0 -> $ per $ n-> +oo $ si ha che $ a_n -> 0 $ quindi converge

$ alpha <0 -> $ per $ n-> +oo $ si ha che $ a_n -> +oo $ quindi diverge positivamente

Giusto come ragionamento??

[Mephlip]

Per $\alpha=0$ è giusto, il resto no. Il fatto che $a_n \to 0$ per $n \to \infty$ è solo condizione necessaria per la convergenza, non è sufficiente: anche perché, se così fosse, anche quando la serie è coincidente con la serie armonica $\frac{1}{n}$ dovrebbe convergere, no? Invece hai detto tu stessa che non converge, quindi c'è una contraddizione interna in quello che hai scritto.

In sostanza: serve che $a_n$ tenda a $0$, ma non basta. Ci deve tendere in modo particolare e i criteri che stai studiando ti vengono in soccorso per stabilire se c'è convergenza o no.

In particolare, la successione sotto il segno di serie tende a $0$ per ogni $\alpha \in \mathbb{R}$. Quindi devi usare dei criteri per stabilire o no la convergenza in ogni caso (tranne $\alpha=0$ che hai già discusso correttamente), in quanto la condizione necessaria di convergenza è verificata per ogni $\alpha \in \mathbb{R}$. Hai studiato il criterio del confronto asintotico?

[lisacassidy]

Ah ok!! Giusto.
Si l’ho studiato ma non saprei come applicarlo a questo esercizio

[Mephlip]

Ricorda il limite notevole $\frac{1-\cos t}{t^2}\to \frac{1}{2}$ per $t \to 0$. Dato che, quando $n \to \infty$, hai che $\frac{1}{\log(n^{3/2})} \to 0$, puoi applicare il limite notevole con $\frac{1}{\log(n^{3/2})}$ al posto di $t$.

Questo ti dà un'idea della successione $b_n$ da scegliere per applicare il criterio del confronto asintotico con $a_n$: ora, ricorda che la serie armonica generalizzata della forma
$$\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^a (\log n)^b}$$
Converge per ogni $b \in \mathbb{R}$ se $a>1$, converge se $a=1$ e $b>1$, diverge a $\infty$ per ogni $\b \le 1 $ se $a=1$ e diverge a $\infty$ per ogni $b \in \mathbb{R}$ se $a<1$.

Ricordati che devi anche dimostrare che $a_n \ge 0$ (almeno definitivamente) e che $b_n>0$ (almeno definitivamente).

[pilloeffe]

"eleonoraponti":$\alpha < 0 -> $ per $n -> +\infty $ si ha che $a_n -> +\infty $ quindi diverge positivamente

Attenzione che innanzitutto non è vero che per $\alpha < 0 $ si ha $ a_n \to +\infty $ (infatti $a_n \to 0 $), anche se poi la conclusione è corretta (diverge positivamente) per il criterio del confronto con la serie armonica.
Poi la serie non può partire da $n = 1 $, perché per tale valore di $n$ non sarebbe definita la frazione argomento del coseno: si assumerà pertanto che la serie proposta parta da $n = 2 $.
La serie è a termini positivi essendo $1 - cos x <= 1/ 2 x^2 $ $\AA x \in \RR $; dunque nel caso $\alpha > 0 $, posto $x := 1/log(n^{3/2}) $, sempre per il criterio del confronto si ha:

$\sum_{n = 2}^{+\infty} 1/n [1-cos(1/log(n^(3/2)))]^{\alpha} <= \sum_{n = 2}^{+\infty} 1/n [1/2 (1/log(n^{3/2}))^2]^{\alpha} = 1/2^{\alpha} \cdot \sum_{n = 2}^{+\infty} 1/n [1/log(n^{3/2})]^{2\alpha} = $
$ = 1/2^{\alpha} \cdot \sum_{n = 2}^{+\infty} 1/n [1/(3/2 log n)]^{2\alpha} = 2^{2 \alpha}/(2^{\alpha} \cdot 3^{2 \alpha}) \cdot \sum_{n = 2}^{+\infty} 1/(n log^{2\alpha}n) = (2/9)^{\alpha} \cdot \sum_{n = 2}^{+\infty} 1/(n log^{2\alpha}n) $

L'ultima scritta è la serie armonica generalizzata che ti ha già menzionato Mephlip, che converge se $2\alpha > 1 \implies \alpha > 1/2 $

[lisacassidy]

Capito il caso di $ alpha >0 $ !! Grazie mille!!

Invece per $ alpha <0 $, pongo $ beta =-alpha>0 $ e pertanto riscrivo:

$ sum_(n = 2)^(+oo)1/n(1/(1-cos(1/logn^(3/2))))^beta $

Non capisco come si usa in questo caso il criterio del confronto con la serie armonica.

[Mephlip]

Riguarda la disuguaglianza $\forall x \in \mathbb{R}, 1-\cos x \le \frac{1}{2}x^2$ che ti ha suggerito pilloeffe. Cosa puoi fare per adattarla alla situazione che hai ora?

[lisacassidy]

Non so se è una stupidaggine quella che dico però mi verrebbe da fare:

$ x^2/(1-cosx)->2 $ per $ x->0 $ quindi ponendo sempre $ x=1/logn^(3/2) $ si ottiene:

$ sum_(n = 2) ^(+oo) 1/n(1/(1-cos(1/logn^(3/2))))^beta<=sum_(n = 2) ^(+oo) 1/n(2/(1/logn^(3/2))^2)^beta $

$ sum_(n = 2) ^(+oo) 1/n(2/(1/logn^(3/2))^2)^beta=2^betasum_(n = 2) ^(+oo) 1/n(1/(1/logn^(3/2))^2)^beta=2^betasum_(n = 2) ^(+oo) 1/n((logn^(3/2))^2)^beta=2^betasum_(n = 2) ^(+oo) 1/n((3/2logn)^2)^beta=2^beta*(3^(2beta))/(2^(2beta))sum_(n = 2) ^(+oo) 1/n(logn)^(2beta)=(9/2)^betasum_(n = 2) ^(+oo) 1/n(logn)^(2beta) $

Che converge (sempre serie armonica generalizzata) quando: $ -2beta>1 -> beta<-1/2-> beta=-alpha->-alpha<-1/2->alpha>1/2 $

Però non sono sicura per niente. Ha senso o è tutto sbagliato?

[pilloeffe]

"eleonoraponti":Ha senso o è tutto sbagliato?

La seconda che hai detto...
Dall'inizio, perché

$1 - cosx <= x^2/2 \implies 1/(1 - cos x) >= 2/x^2 $

[lisacassidy]

Quindi in teoria non va bene perché dovrei trovare qualcosa che me la limiti superiormente giusto? Come posso scriverla quindi?

[Mephlip]

"eleonoraponti":Quindi in teoria non va bene perché dovrei trovare qualcosa che me la limiti superiormente giusto? Come posso scriverla quindi?

Non necessariamente, se vuoi dimostrare che diverge devi limitarla inferiormente e far vedere che la serie corrispondente alla limitazione dal basso diverge; quindi, quella più grande diverge anch'essa.

"pilloeffe":
$1 - cosx <= x^2/2 \implies 1/(1 - cos x) >= 2/x^2 $

@eleonoraponti: Intendevo proprio questo con riguardare la disuguaglianza e riadattarla al caso.

L'unica cosa che volevo aggiungere è che la disuguaglianza è equivalente a quella dei reciproci perché, dato che per ogni $x \in \mathbb{R}$ risulta $-1 \le \cos x \le 1$, per ogni $x \in \mathbb{R}$ risulta $1-\cos x \ge 0$ e quindi puoi passare ai reciproci cambiando verso alla disuguaglianza.

[lisacassidy]

Ah ok!!

Quindi:

$ sum_(n = 2) ^(+oo) 1/n(1/(1-cos(1/logn^(3/2))))^alpha>=sum_(n = 2) ^(+oo) 1/n(2/(1/logn^(3/2))^2)^alpha$

$ sum_(n = 2) ^(+oo) 1/n(2/(1/logn^(3/2))^2)^alpha=2^alphasum_(n = 2) ^(+oo) 1/n(1/(1/logn^(3/2))^2)^alpha=2^alphasum_(n = 2) ^(+oo) 1/n((logn^(3/2))^2)^alpha=2^alphasum_(n = 2) ^(+oo) 1/n((3/2logn)^2)^alpha=2^alpha*(3^(2alpha))/(2^(2alpha))sum_(n = 2) ^(+oo) 1/n(logn)^(2alpha)=(9/2)^alphasum_(n = 2) ^(+oo) 1/n(logn)^(2alpha) $

Che diverge positivamente (sempre serie armonica generalizzata) quando: $ -2alpha<=1 -> alpha>=-1/2 $

Quindi, sperando che stavolta ho fatto bene, riassumendo viene:

$ -1/2<=alpha<=1/2 $ la serie diverge positivamente (c'è anche all'interno il caso $ alpha=0 $ )

$ alpha>1/2 $ la serie converge

[pilloeffe]

A me risulta convergente se $\alpha > 1/2 $, positivamente divergente altrove.

Questo perché a parte inessenziali costanti moltiplicative hai una serie del tipo $\sum_{n = 2}^{+\infty} (log^{\gamma} n)/n $ con $\gamma \ge 0 $ e $\AA \gamma >= 0 $ si ha:

$\sum_{n = 2}^{+\infty} (log^{\gamma} n)/n \ge \sum_{n = 2}^{+\infty} 1/n $