Convergenza serie numerica
Ciao a tutti qualcuno mi può aiutare su questo eserczio?
Al variare di alfa>0 studiare la convergenza della serie numerica
$ Sigma(n=1, +oo ) (n^(3/2)*(sqrt(1-1/n^2) -cos(1/n^alpha ))) $
Risposta: La serie converge se e solo se alfa=1
Grazie mille
Al variare di alfa>0 studiare la convergenza della serie numerica
$ Sigma(n=1, +oo ) (n^(3/2)*(sqrt(1-1/n^2) -cos(1/n^alpha ))) $
Risposta: La serie converge se e solo se alfa=1
Grazie mille
Risposte
Idee tue? Ti consiglio di provare a applicare il criterio del confronto asintotico.
L'unico consiglio che da il testo è quello di usare gli sviluppi
E ci hai provato? (che poi è quello che ho detto io).
Io ho appunto provato a sviluppare la radice ed il coseno, ottenendo così
$ n^(3/2)*(-1/(2n^2)+o(1/n^2)+1/(2n^(2alpha))+o(1/(2^(2alpha)))) $
però da qui in poi mi blocco e non riesco ad andare avanti con lo discussione
$ n^(3/2)*(-1/(2n^2)+o(1/n^2)+1/(2n^(2alpha))+o(1/(2^(2alpha)))) $
però da qui in poi mi blocco e non riesco ad andare avanti con lo discussione
Quello che fai è corretto, ma sarebbe meglio non fermarsi al primo termine dello sviluppo e proseguire. Prendendo un altro termine nello sviluppo della radice e del coseno possiamo scrivere
$$n^{3/2}\left(\frac{1}{2n^{2\alpha}}-\frac{1}{2n^2}-\frac{1}{8n^4}-\frac{1}{24n^{4\alpha}}+o(...)\right)$$
Ora, è una questione di potenze all'interno della parentesi: quella che devi scegliere è la più piccola tra tutte. Osserva che hai quell'alfa come discriminante: per cui possiamo dire che
1) se $2\alpha<2$ cioè se $\alpha<1$ allora all'interno della parentesi l'ordine è dato da $1/{2n^{2\alpha}}$ e quindi la serie è asintotica a
$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2n^{2\alpha-3/2}}$$
Tale serie converge se e solo se $2\alpha-3/2>1$ cioè quando $\alpha>5/4$ e questa, ovviamente, è una situazione non accettabile, visto che $\alpha<1$.
2) nel caso in cui $\alpha=1$ il termine tra parentesi si riduce a $-1/{6n^4}$ e la serie risulta asintotica a
$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{6n^{5/2}}$$
la quale converge.
3) se infine $\alpha >1$ il termine tra parentesi risulta equivalente a $-1/{2n^2}$ e quindi la serie è asintotica a
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n^{1/2}}$$
e quindi diverge.
$$n^{3/2}\left(\frac{1}{2n^{2\alpha}}-\frac{1}{2n^2}-\frac{1}{8n^4}-\frac{1}{24n^{4\alpha}}+o(...)\right)$$
Ora, è una questione di potenze all'interno della parentesi: quella che devi scegliere è la più piccola tra tutte. Osserva che hai quell'alfa come discriminante: per cui possiamo dire che
1) se $2\alpha<2$ cioè se $\alpha<1$ allora all'interno della parentesi l'ordine è dato da $1/{2n^{2\alpha}}$ e quindi la serie è asintotica a
$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2n^{2\alpha-3/2}}$$
Tale serie converge se e solo se $2\alpha-3/2>1$ cioè quando $\alpha>5/4$ e questa, ovviamente, è una situazione non accettabile, visto che $\alpha<1$.
2) nel caso in cui $\alpha=1$ il termine tra parentesi si riduce a $-1/{6n^4}$ e la serie risulta asintotica a
$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{6n^{5/2}}$$
la quale converge.
3) se infine $\alpha >1$ il termine tra parentesi risulta equivalente a $-1/{2n^2}$ e quindi la serie è asintotica a
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n^{1/2}}$$
e quindi diverge.
Ok adesso ho capito! Grazie mille per la disponibilità e la velicita, gentilissimo 
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