Convergenza serie: è giusto questo procedimento?

[y7xj0m]

Ciao! volevo chiedervi se potevate dare conferma o smentita sul procedimento che ho usato per studiare la convergenza di questa serie:
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{settcosh(n)}{\sqrt{n^4+n^2+1}}\]
Allora, prima di tutto:

\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{log(n+\sqrt{n^2-1})}{\sqrt{n^4+n^2+1}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{log(n(1+\frac{\sqrt{n^2-1}}{n})}{\sqrt{n^4+n^2+1}}= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{logn+log(1+\frac{\sqrt{n^2-1}}{n})}{\sqrt{n^4+n^2+1}}\)

Ora posso scrivere il termine generale come:

\(\displaystyle\frac{logn}{\sqrt{n^4+n^2+1}}+\frac{log(1+\frac{\sqrt{n^2-1}}{n})}{\sqrt{n^4+n^2+1}}\sim_\infty\frac{logn}{\sqrt{n^4+n^2+1}}+\frac{log2}{\sqrt{n^4+n^2+1}}\)

Ora, il primo termine dovrebbe convergere per il criterio di condensazione di Cauchy, e il secondo pure perché asintotico a \(\displaystyle \frac{1}{n^2} \)

Quindi la serie data converge. E' corretto?

[theras]

Non vedo errori,ma se ho fatto bene i conti ti sbrigavi prima a confrontare asintoticamente con la serie armonica generalizzata d'ordine $3/2$ :
saluti dal web.