Convergenza serie di potenze
Devo trovare per quali x la serie $\sum_{n=1}^(+oo) ((1-e^(-1/n^a))/(n^(-2a)))x^n$ converge, al variare di a reale positivo.
Come posso fare?
Come posso fare?
Risposte
Hai provato almeno ad applicare i criteri standard (radice e rapporto)? Che cosa ne hai ricavato? Ricordati che una serie di potenze come questa converge sempre in un intervallo simmetrico, e che a priori non si può dire nulla sulla convergenza negli estremi.
Offri un minimo spunto di discussione, per favore. Il regolamento lo conosci.
Offri un minimo spunto di discussione, per favore. Il regolamento lo conosci.
Io avevo provato a calcolare il raggio di convergenza come reciproco del limite per n infinito della radice ennesima del coefficiente di $x^n$ ma non sapevo come calcolarlo e mi ero bloccato.
Bene. Anche io avevo pensato a questo metodo. Intanto io comincerei con considerare $a=0$. In questo caso infatti ti riduci ad una serie geometrica che converge per $|x|<1$, come sappiamo.
Per $a!=0$ si tratta di calcolare il limite $lim_{n\toinfty}[(1-e^(-1/(n^a)))/(n^(-2a))]^(1/n)$. Non è proprio immediato (per me), ci penso un attimo.
Per $a!=0$ si tratta di calcolare il limite $lim_{n\toinfty}[(1-e^(-1/(n^a)))/(n^(-2a))]^(1/n)$. Non è proprio immediato (per me), ci penso un attimo.
Ti consiglio di non applicare il criterio della radice, ma il creterio del rapporto. Quando poi calcoli il limite per $ x \to +\infty $ fai attenzione ai segni ok?
... a puoi applicare anche i limiti notevoli (ti semplifichi la vita)!
... a puoi applicare anche i limiti notevoli (ti semplifichi la vita)!
Mi pare che il limite faccia $e^(-2a)$. Infatti:
chiamo $a_n=1-e^(-1/n^a), b_n=n^(-2a)$. Vogliamo calcolare $lim_{n\toinfty}[(a_n)/(b_n)]^(1/n)=lim_{n\toinfty}"exp"(1/nlog((a_n)/(b_n)))$. Ma $log((a_n)/(b_n))=log(a_n)-log(b_n)$ e $log(a_n)\to0$ (ricordo che $a!=0$), quindi ci riduciamo a calcolare $lim_{n\toinfty}"exp"(-1/nlog(b_n^(-1)))=lim_{n\toinfty}"exp"(-2a)"exp"((logn)/(n))="exp"(-2a)$. Vedi un po' se ti convince.
P.S.: Scrivevo contemporaneamente ad Aliseo.
[edit] mancava un $lim_{n\to infty}$.
[ri-edit] eccolo, l'erroraccio. E' nella parte segnata in rosso. La mia conclusione è sbagliata, chiedo scusa.
chiamo $a_n=1-e^(-1/n^a), b_n=n^(-2a)$. Vogliamo calcolare $lim_{n\toinfty}[(a_n)/(b_n)]^(1/n)=lim_{n\toinfty}"exp"(1/nlog((a_n)/(b_n)))$. Ma $log((a_n)/(b_n))=log(a_n)-log(b_n)$ e $log(a_n)\to0$ (ricordo che $a!=0$), quindi ci riduciamo a calcolare $lim_{n\toinfty}"exp"(-1/nlog(b_n^(-1)))=lim_{n\toinfty}"exp"(-2a)"exp"((logn)/(n))="exp"(-2a)$. Vedi un po' se ti convince.
P.S.: Scrivevo contemporaneamente ad Aliseo.
[edit] mancava un $lim_{n\to infty}$.
[ri-edit] eccolo, l'erroraccio. E' nella parte segnata in rosso. La mia conclusione è sbagliata, chiedo scusa.
A me viene invece $1$, sia che $a>0$, sia che $a<0$ ... infatti:
posto con $ a_{n+1}=(1-e^(-1/(n+1)^a))/((n+1)^(-2a)) $ e $ a_n=(1-e^(-1/(n)^a))/((n)^(-2a)) $ ottengo il limite
$ \lim_{n \to +\infty} (a_{n+1})/(a_n) =\lim_{n \to +\infty} ((1-e^(-1/(n+1)^a))/((n+1)^(-2a)))/((1-e^(-1/(n)^a))/((n)^(-2a))) $. Ora, con qualche cambio di segno e sfruttando i limiti notevoli ottengo il limite finale
$ \lim_{n \to + \infty} (n+1)^(a)/n^(a)=1 $
posto con $ a_{n+1}=(1-e^(-1/(n+1)^a))/((n+1)^(-2a)) $ e $ a_n=(1-e^(-1/(n)^a))/((n)^(-2a)) $ ottengo il limite
$ \lim_{n \to +\infty} (a_{n+1})/(a_n) =\lim_{n \to +\infty} ((1-e^(-1/(n+1)^a))/((n+1)^(-2a)))/((1-e^(-1/(n)^a))/((n)^(-2a))) $. Ora, con qualche cambio di segno e sfruttando i limiti notevoli ottengo il limite finale
$ \lim_{n \to + \infty} (n+1)^(a)/n^(a)=1 $
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