Convergenza serie di potenze
Buonasera volevo chiedervi una cosa, all'esame di analisi mi è capitata una domanda sulle serie di potenze:
" Se il raggio di convergenza della serie di potenze $ sum_(n = 0)^(oo) a_n (x-b)^n $ è 5, allora necessariamente: "
la risposta giusta nell'esame è "la serie converge puntualmente ed uniformemente in $ [b-4,b+3] $ "
ma dalla teoria so che quando il raggio di convergenza di una serie è $ 0 < R < oo $ la serie converge in un intervallo aperto e limitato $ (x_0 - R , x_0 + R) $ , quindi non dovrebbe essere che la serie converge puntualmente ed uniformemente in $ [b-5,b+5] $ ?
" Se il raggio di convergenza della serie di potenze $ sum_(n = 0)^(oo) a_n (x-b)^n $ è 5, allora necessariamente: "
la risposta giusta nell'esame è "la serie converge puntualmente ed uniformemente in $ [b-4,b+3] $ "
ma dalla teoria so che quando il raggio di convergenza di una serie è $ 0 < R < oo $ la serie converge in un intervallo aperto e limitato $ (x_0 - R , x_0 + R) $ , quindi non dovrebbe essere che la serie converge puntualmente ed uniformemente in $ [b-5,b+5] $ ?
Risposte
Non vedo ambiguità infatti come hai detto la serie converge puntualmente e uniformemente in ogni sottointervallo $[x_0-\delta, x_0+\delta] \sub (x_0-R,x_0+R)$ allora necessariamente anche in un intervallo di quel tipo $[b-3,b+4]$
si c'erano 4 risposte!
Scusa ho scritto male $[b-4,b+3]$
La domanda richiedeva una condizione necessaria perchè la serie avesse raggio di convergenza uguale a 5. Quindi perche abbia raggio di convergenza 5 è necessario che coverga in tutti gli intervalli chiusi inclusi in $(b-5,b+5)$ in particolare nell'intervallo indicato. Comunque attento a includere gli estremi dell'intervallo di convergenza, non è vero in generale (vedi $\sum_{n=0}^\infty x^n$)
quindi i teoria sono giuste entrambe no?
"Gio_bass88":
quindi non dovrebbe essere che la serie converge puntualmente ed uniformemente in $ [b-5,b+5] $ ?
Come diceva Qfwfq, questo non vale in generale. La risposta giusta è quella dell'esame
Ok quindi la risposta che ho messo io può non essere sempre vera, mentre la risposta $ [b−4,b+3] $ essendo un intervallo incluso nell'intervallo "generale" è sempre valido?
Si addirittura se non ricordo male ci converge totalmente (quindi uniformemente e assolutamente) all'interno $(x_0-R,x_0+R)$
Capito, grazie mille davvero! mi avete tolto un peso! 
Più tardi vorrei poi chiedervi qualche altra cosa sulle serie che sono la parte che mi sta dando più problemi per l'esame, ma apro eventualmente un topic per un esercizio!
Più tardi vorrei poi chiedervi qualche altra cosa sulle serie che sono la parte che mi sta dando più problemi per l'esame, ma apro eventualmente un topic per un esercizio!
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