Convergenza Serie Di Funzioni
Ragazzi Ho Fatto il seguente esercizio e volevo chiedere a voi un parere in merito allo svolgimento:
Si Studi Al Variare di $ \alpha $ la convergenza della seguente serie di funzioni:
$ sum_(n = 1)^(\infty) x/(\sqrt(n)(1+n^(\alpha)x^2))$
Allora Ho Ragionato Cosi':
Per $ x = 0$ la serie ha somma 0
Per $ x > 0$ e $ \alpha > 0$
Ho applicato il criterio degli infinitesimi per le serie numeriche con $ p= \alpha + 1/2 $
Quindi ho svolto il limite:
$ lim_(n -> +\infty) (n^(\alpha+1/2)x)/(\sqrt(n)(1+n^(\alpha)x^2))$ = 1/x
Dunque se $\alpha+1/2 > 1$ cioe' $\alpha > 1/2 $ la serie converge
Resta quindi il Caso $ x > 0$ e $ \alpha < 0$
Allora Sempre per il criterio degli infinitesimi Con $ p= \alpha + 1/2 $ si ha che il limite vale $ x $
Quindi la serie diverge
Il Caso in Cui $ x < 0$ si ottiene dal precedente perche'
$ sum_(n = 1)^(\infty) - x/(\sqrt(n)(1+n^(\alpha)x^2))$ = $ - sum_(n = 1)^(\infty) x/(\sqrt(n)(1+n^(\alpha)x^2))$
Inoltre in particolare calcolando il sup del termine generale si ottiene che per $ \alpha > 1 $ c'e' convergenza totale
E' corretto?
Qualche errore?
Ringrazio anticipatamente
Si Studi Al Variare di $ \alpha $ la convergenza della seguente serie di funzioni:
$ sum_(n = 1)^(\infty) x/(\sqrt(n)(1+n^(\alpha)x^2))$
Allora Ho Ragionato Cosi':
Per $ x = 0$ la serie ha somma 0
Per $ x > 0$ e $ \alpha > 0$
Ho applicato il criterio degli infinitesimi per le serie numeriche con $ p= \alpha + 1/2 $
Quindi ho svolto il limite:
$ lim_(n -> +\infty) (n^(\alpha+1/2)x)/(\sqrt(n)(1+n^(\alpha)x^2))$ = 1/x
Dunque se $\alpha+1/2 > 1$ cioe' $\alpha > 1/2 $ la serie converge
Resta quindi il Caso $ x > 0$ e $ \alpha < 0$
Allora Sempre per il criterio degli infinitesimi Con $ p= \alpha + 1/2 $ si ha che il limite vale $ x $
Quindi la serie diverge
Il Caso in Cui $ x < 0$ si ottiene dal precedente perche'
$ sum_(n = 1)^(\infty) - x/(\sqrt(n)(1+n^(\alpha)x^2))$ = $ - sum_(n = 1)^(\infty) x/(\sqrt(n)(1+n^(\alpha)x^2))$
Inoltre in particolare calcolando il sup del termine generale si ottiene che per $ \alpha > 1 $ c'e' convergenza totale
E' corretto?
Qualche errore?
Ringrazio anticipatamente
Risposte
La serie converge in \(x=0\) per ogni \(\alpha\).
Per \(x\neq 0\), hai:
\[
\frac{x}{\sqrt{n}\ (1+n^\alpha x^2)} \approx \begin{cases} x/n^{1/2} &\text{, se } \alpha \leq 0\\ 1/(xn^{\alpha +1/2}) &\text{, se } \alpha >0\end{cases}
\]
quindi, per confronto asintotico, la serie converge puntualmente solo se \(\alpha >0\) è tale che \(\alpha +1/2>1\), i.e. se \(\alpha >1/2\).
Per quanto riguarda la convergenza totale, non ho fatto i conti.
Per \(x\neq 0\), hai:
\[
\frac{x}{\sqrt{n}\ (1+n^\alpha x^2)} \approx \begin{cases} x/n^{1/2} &\text{, se } \alpha \leq 0\\ 1/(xn^{\alpha +1/2}) &\text{, se } \alpha >0\end{cases}
\]
quindi, per confronto asintotico, la serie converge puntualmente solo se \(\alpha >0\) è tale che \(\alpha +1/2>1\), i.e. se \(\alpha >1/2\).
Per quanto riguarda la convergenza totale, non ho fatto i conti.
Grazie Mille Per La Risposta 
Per quanto riguarda invece la seguente serie:
$ sum_(n = 1)^(+\infty) x^n/n^n + 1/x^n $
E' somma di questa serie $ sum_(n = 1)^(+\infty) x^n/n^n $ che converge se $ -n < x < n $ e $ sum_(n = 1)^(+\infty) 1/x^n $ che converge se $ -1 < x < 1 $ quindi la serie di partenza converge se $ -1 < x < 1 $ e $x != 0$
Per quanto riguarda invece la seguente serie:
$ sum_(n = 1)^(+\infty) x^n/n^n + 1/x^n $
E' somma di questa serie $ sum_(n = 1)^(+\infty) x^n/n^n $ che converge se $ -n < x < n $ e $ sum_(n = 1)^(+\infty) 1/x^n $ che converge se $ -1 < x < 1 $ quindi la serie di partenza converge se $ -1 < x < 1 $ e $x != 0$
Ma no... Controlla bene \(\sum \frac{1}{n^n}\ x^n\).
Che senso ha dire che essa converge in \(]-n,n[\)?
Che senso ha dire che essa converge in \(]-n,n[\)?
mmm quella non e' una serie di potenze? quindi ho applicato il criterio della radice che mi porta come limite 1/n
quindi il raggio di convergenza e' n
quindi sostituendo sarebbe comunque l'intervallo ]-1,1[ ?
quindi il raggio di convergenza e' n
quindi sostituendo sarebbe comunque l'intervallo ]-1,1[ ?
"M.C.D.":
mmm quella non e' una serie di potenze? quindi ho applicato il criterio della radice che mi porta come limite 1/n
quindi il raggio di convergenza e' n
Rileggiti bene il criterio della radice, please.
e sono un fesso non facevo il limite -.-
perdonami
quindi il limite vale 0 e il raggio di convergenza e' infinito giusto?
per cui la serie di partenza non converge mai
perdonami
quindi il limite vale 0 e il raggio di convergenza e' infinito giusto?
per cui la serie di partenza non converge mai
"M.C.D.":
e sono un fesso non facevo il limite -.-
perdonami
quindi il limite vale 0 e il raggio di convergenza e' infinito giusto?
Esatto.
"M.C.D.":
per cui la serie di partenza non converge mai
Ma no!
Rifletti prima di postare, porca paletta!
Ma oggi son proprio fuori di testa -.-
Meglio se me ne vado a dormire per un po (poche ore di sonno)
Ok allora la prima quindi converge per ogni x
la seconda converge tra -1 < x < 1
quindi la somma in ]-1,1[
Ne sono sicuro stavolta
Meglio se me ne vado a dormire per un po (poche ore di sonno)
Ok allora la prima quindi converge per ogni x
la seconda converge tra -1 < x < 1
quindi la somma in ]-1,1[
Ne sono sicuro stavolta
Esatto.
Però, per favore, cerca di usare le formule la prossima volta.
Però, per favore, cerca di usare le formule la prossima volta.
Si scusami 
Ad Ogni Modo Mille Grazie Ancora
Ora ne faccio qualche altro po (almeno altri 100 XD) e poi vediamo se ho qualche altro dubbio
Ad Ogni Modo Mille Grazie Ancora
Ora ne faccio qualche altro po (almeno altri 100 XD) e poi vediamo se ho qualche altro dubbio
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo