Convergenza serie di funzioni
Buondì, sono alle prime armi con le serie di funzioni, e nello specifico sto studiando i metodi per determinarne la convergenza (e di che tipo).
Ora, sul libro viene detto che uno dei metodi per verificare la convergenza normale è quello di studiare massimi E/O sup della funzione $|f_n(x)|$. Il mio problema è: quando uno e quando l'altro? Sono equivalenti? Ovviamente se non c'è sup andrò di massimi, ma se ci sono entrambi va bene uno qualunque?
I primi esercizi in genere mi riescono, però ad esempio ho trovato anche questo:
$ sum_(n=1)^(oo) 1/(1+n^2x^2)$ per $|x|>=a>0$
Ho riscritto la condizione come $(-oo; -a] uu [a, +oo]$
L'esercizio dice che sup$|f_n(x)|=1/(1+n^2a^2)$ "e dunque la serie converge", ma senza spiegare perché. Non riesco a capire il collegamento.
Grazie!
Ora, sul libro viene detto che uno dei metodi per verificare la convergenza normale è quello di studiare massimi E/O sup della funzione $|f_n(x)|$. Il mio problema è: quando uno e quando l'altro? Sono equivalenti? Ovviamente se non c'è sup andrò di massimi, ma se ci sono entrambi va bene uno qualunque?
I primi esercizi in genere mi riescono, però ad esempio ho trovato anche questo:
$ sum_(n=1)^(oo) 1/(1+n^2x^2)$ per $|x|>=a>0$
Ho riscritto la condizione come $(-oo; -a] uu [a, +oo]$
L'esercizio dice che sup$|f_n(x)|=1/(1+n^2a^2)$ "e dunque la serie converge", ma senza spiegare perché. Non riesco a capire il collegamento.
Grazie!
Risposte
Per c'è convergenza totale, dunque convergenza uniforme, dunque converga puntuale. Infatti $ |f_n| < M_n = \frac{1}{1+n^2a^2}$ per ogni $|x| > a$, e la serie $\sum_n M_n$ è ovviamente convergente per confronto con la serie armonica generalizzata.
Ecco perfetto, immaginavo fosse qualcosa del genere ma volevo accertarmene, grazie.
Per curiosità, se avessi studiato i massimi invece del sup...
$f'_n(x)=-(2n^2x)/(n^2x^2+1)^2$ che si annulla per $x=0$. In tal caso la serie diventa
$|f_n(0)|=1$ che però diverge. Immagino questo sia perchè $x=0$ non è contemplato dall'intervallo in questione? E se lo fosse stato, sarebbe stato diverso studiare il massimo piuttosto che il sup?
Per curiosità, se avessi studiato i massimi invece del sup...
$f'_n(x)=-(2n^2x)/(n^2x^2+1)^2$ che si annulla per $x=0$. In tal caso la serie diventa
$|f_n(0)|=1$ che però diverge. Immagino questo sia perchè $x=0$ non è contemplato dall'intervallo in questione? E se lo fosse stato, sarebbe stato diverso studiare il massimo piuttosto che il sup?
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