Convergenza serie di funzioni

[melli13]

Data $f in C(RR)$. Poniamo $AA t in RR$
$x_0(t)=f(t)$, $x_n(t)=\int_0^t x_(n-1)(s) ds$ $(n>=1)$

1) Calcolare $x_n(*)$ per $f(t)=1$
2) Dimostrare che la serie di funzioni $\sum_{n=0}^\infty x_n(t)$ converge totalmente sui compatti di $RR$ ad una funzione $x in C^1(RR)$
3) Esprimere $x'$ in funzione di $x$ e $f$ e calcolare $x(*)$ per $f(t)=e^t$

1)
Allora per il primo punto mi sono calcolata a mano:
$x_0(t)=1$
$x_1(t)=t$
$x_2(t)=t^2/2$
.......
$x_n(t)=t^n/(n!)$
$rArr \sum_{n=0}^\infty t^n/(n!)=e^t$

2)
Qui non so bene come muovermi. Magari se trovassi il raggio di convergenza $\rho$ potrei dire che converge sui compatti $[-r,r]$ t.c. $0
Grazie a chi vorrà aiutarmi

[Noisemaker]

La prima parte dell' esercizio è sostanzialmente corretta, manca il passo induttivo: infatti essendo
\begin{align}
x_1(t)&=\int_{0}^{t}ds=t\\
x_2(t)&=\int_{0}^{t}sds=\frac{t^2}{2}\\
x_3(t)&=\int_{0}^{t}\frac{s^2}{2}ds=\frac{t^3}{3!}\\
....
\end{align}
si può cercare di provare per induzione che
\[x_n(t)=\frac{t^n}{n!};\tag 1\]
se supponimo vera la $(1)$ dobbiamo mostrare che
\begin{align}
x_{n+1}(t)=\frac{t^{n+1}}{(n+1)!}:
\end{align}
infatti si ha:
\begin{align}
x_{n+1}(t)=\int_{0}^{t}\frac{s^{n }}{n!} ds=\frac{t^{n+1}}{(n+1)!},
\end{align}
pertanto
\[x_n(t)=\frac{t^n}{n!}. \]

Per il punto $b,$ senza perdita di generalità supponiamo $t>0;$ poichè la funzione $f$ è continua, essa sarà limitata (per il teorema di Weierstrass) in ogni compatto contenuto in $\RR,$ pertanto possiamo supporre che $|f(t)|\leM, forall t\in [-r,r]\subset\RR;$ allora la serie
\[\sum_{n=0}^{+\infty}x_n(t)\]
converge totalmente poichè in ogni compatto $[-r,r]\subset\RR$ si ha
\begin{align}
\sum_{n=0}^{+\infty}\sup_{[-r,r]}|x_n(t)|\stackrel{(*)}{\le}\sum_{n=0}^{+\infty}\sup_{t\le r}\frac{M|t|^n}{n!}=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{M|r|^n}{n!}=Me^r<+\infty,
\end{align}
dove la disuguaglianza $($*$)$ deriva dal fatto che si può dimostrare per induzione che
\begin{align}
|x_{n }(t)|\le M \frac{|t|^{n }}{n!};
\end{align}
la tesi è ovvia per $n=0$ e se è vera per un certo $n$ si ha (per $t>0$)
\begin{align}
|x_{n+1 }(t)=\left| \int_{0}^{t}x_n(s) ds\right|\le \int_{0}^{t}\left|x_n(s) \right|ds\le M \int_{0}^{t} \frac{ s ^{n }}{n!}ds=M \frac{ t ^{n+1 }}{(n+1)!},
\end{align}
pertanto la tesi è vera per $n+1$ quindi vale per ogni $n$ (lo stesso discorso si può fare per $t<0$).

Per il punto $c$ poniamo
\[g(t):=\sum_{n=0}^{+\infty} x_n(t) =f(t)+\sum_{n=1}^{+\infty} x_n(t);\]
si può osservare che per $n\ge1$ si ha $x'_{n+1}=x'_n,$ dunque la serie delle derivate è
\[\sum_{n=0}^{+\infty} x'_n(t)=f'(t)+\sum_{n=0}^{+\infty} x_n(t).\]
Poichè la serie converge otalmente, quindi uniformemente su ogni compatto $[-r,r]\subset\RR$ si ha
\[g'(t):=\sum_{n=0}^{+\infty} x'_n(t) =f'(t)+g(t),\]
cioè $g$ risolve l'equazione differenziale lineare
\[g'(t)=e^t+g(t);\]
con facili calcoli si trova
\[g(t)=ce^t+te^t,\qquad c\in\mathbb{R};\]
visto che $x_n(0)=0,$ per ogni $n$ si ha $g(0)=0,$ da cui $c=0,$ pertanto
\[g(t)= te^t.\]