Convergenza serie di funzione
Ciao a tutti, vi propongo lo studio della convergenza puntuale e uniforme della seguente serie:
$ sum_(n = 1,\ldots+oo) (-1)^n(x^2+n)/n^2 $
Ho provato a svolgere in questo modo:
Notiamo per prima cosa che $AAn>=1$ le $ f_n(x) $ sono funzioni definite in tutto $RR$, cioè $ f_n: I ->RR$ dove $I=RR$. Definendo $a_n=(x^2+n)/n^2$, si nota subito che $AAn>=1$, $a_n(x)$ è una successione di funzioni a valori non negativi. Questo ci permette di osservare che il fattore $(-1)^n$ trasforma la serie in una a segni alterni.
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Passiamo allo studio del limite puntuale della serie:
$ lim_(n -> +oo) (x^2+n)/n^2=0 $
Essendo la seccessione $a_n$ a termini non negativi e decrescente, possiamo applicare Leibnitz per concludere che la serie converge a $0$, $AAx in I$.
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Dal momento che $AAx in I$ e $AAn>=1$ le funzioni $ f_n: I ->RR$ sono continue e $f(x)$ è continua , il teorema sulla continuità della funzione limite non esclude il fatto che la serie possa convergere uniformemente ad $f(x)$.
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Applichiamo quindi, il criterio di Weierstrass. Dobbiamo trovare:
$ M_n:= Sup_(x in I)|f_n(x)-f(x)|=Sup_(x in I)|(-1)^n(x^2+n)/n^2|=Sup_(x in I)((x^2+n)/n^2) $
Studio la derivata prima:
$ D[(x^2+n)/n^2]=2x/n^2 $ , $ 2x/n^2>=0 hArr x>=0 $
Quindi come ci aspettavamo, l'estremo superiore lo si troverà in corrispondenza di $x->+-oo$ (dal momento che la funzione $(x^2+n)/n^2$per $n$ fissato è pari):
$ Sup_(x in I)((x^2+n)/n^2) =+oo $ , ciò implica:
$ sum_(n = 1,\ldots+oo) M_n=+oo $
Tutto ciò implica che la serie non converge nè totalmente nè uniformemente in $I$.
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Provo a restringere leggermente l'intervallo $I$ e considero $a>=0$ e il nuovo intervallo $J= [-a,a]$, quindi ho che:
$ M_n:= Sup_(x in I)((x^2+n)/n^2)=(a^2+n)/n^2$
In questo caso si nota:
$ sum_(n = 1,\ldots+oo) (a^2+n)/n^2 ~~ sum_(n = 1,\ldots+oo)1/n$
Dal momento che la serie $sum_(n = 1,\ldots+oo)1/n$ diverge, divergerà anche $ sum_(n = 1,\ldots+oo) (a^2+n)/n^2$. Da ciò si conclude che anche in un intervallo $J=[-a,a]$ con $ a>=0$ la serie non converge totalmente o uniformemente.
Il ragionamento è giusto? Grazie in anticipo ragazzi!
$ sum_(n = 1,\ldots+oo) (-1)^n(x^2+n)/n^2 $
Ho provato a svolgere in questo modo:
Notiamo per prima cosa che $AAn>=1$ le $ f_n(x) $ sono funzioni definite in tutto $RR$, cioè $ f_n: I ->RR$ dove $I=RR$. Definendo $a_n=(x^2+n)/n^2$, si nota subito che $AAn>=1$, $a_n(x)$ è una successione di funzioni a valori non negativi. Questo ci permette di osservare che il fattore $(-1)^n$ trasforma la serie in una a segni alterni.
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Passiamo allo studio del limite puntuale della serie:
$ lim_(n -> +oo) (x^2+n)/n^2=0 $
Essendo la seccessione $a_n$ a termini non negativi e decrescente, possiamo applicare Leibnitz per concludere che la serie converge a $0$, $AAx in I$.
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Dal momento che $AAx in I$ e $AAn>=1$ le funzioni $ f_n: I ->RR$ sono continue e $f(x)$ è continua , il teorema sulla continuità della funzione limite non esclude il fatto che la serie possa convergere uniformemente ad $f(x)$.
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Applichiamo quindi, il criterio di Weierstrass. Dobbiamo trovare:
$ M_n:= Sup_(x in I)|f_n(x)-f(x)|=Sup_(x in I)|(-1)^n(x^2+n)/n^2|=Sup_(x in I)((x^2+n)/n^2) $
Studio la derivata prima:
$ D[(x^2+n)/n^2]=2x/n^2 $ , $ 2x/n^2>=0 hArr x>=0 $
Quindi come ci aspettavamo, l'estremo superiore lo si troverà in corrispondenza di $x->+-oo$ (dal momento che la funzione $(x^2+n)/n^2$per $n$ fissato è pari):
$ Sup_(x in I)((x^2+n)/n^2) =+oo $ , ciò implica:
$ sum_(n = 1,\ldots+oo) M_n=+oo $
Tutto ciò implica che la serie non converge nè totalmente nè uniformemente in $I$.
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Provo a restringere leggermente l'intervallo $I$ e considero $a>=0$ e il nuovo intervallo $J= [-a,a]$, quindi ho che:
$ M_n:= Sup_(x in I)((x^2+n)/n^2)=(a^2+n)/n^2$
In questo caso si nota:
$ sum_(n = 1,\ldots+oo) (a^2+n)/n^2 ~~ sum_(n = 1,\ldots+oo)1/n$
Dal momento che la serie $sum_(n = 1,\ldots+oo)1/n$ diverge, divergerà anche $ sum_(n = 1,\ldots+oo) (a^2+n)/n^2$. Da ciò si conclude che anche in un intervallo $J=[-a,a]$ con $ a>=0$ la serie non converge totalmente o uniformemente.
Il ragionamento è giusto? Grazie in anticipo ragazzi!
Risposte
Prima cosa: la serie converge puntualmente per il criterio di Leibniz, ma non converge (puntualmente) a zero nemmeno per idea.
Seconda cosa: per osservare che gli addendi non sono limitati in $RR$ non servono le derivate.
Terza cosa: se una serie non converge totalmente (come questa), non è detto che non converge nemmeno uniformemente.
Quarta cosa: il criterio di Leibniz porta con sé una stima del resto: usala.
Seconda cosa: per osservare che gli addendi non sono limitati in $RR$ non servono le derivate.
Terza cosa: se una serie non converge totalmente (come questa), non è detto che non converge nemmeno uniformemente.
Quarta cosa: il criterio di Leibniz porta con sé una stima del resto: usala.
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