Convergenza serie di fourier
Salve a tutti. Come da titolo non ho capito bene come vedere la convergenza per la serie di fourier. Il teorema mi dice che se $ f $ è regolare a tratti allora la serie di fourier converge puntualmente a $ (f(x_{+})+f(x_{-}))/2 $ dove $ f(x_{+}) $ è il limite destro della funzione $ f(x_{+})=lim_(y -> x_{+}) f(y) $ e $ f(x_{-}) $ è il limite sinistro della funzione $ f(x_{-})=lim_(y -> x_{-}) f(y) $ . Io non ho ben capito innanzitutto come vedere se una funzione è regolare a tratti, secondo non ho ben capito che cosa sono $ x_{+} $ e $ x_{-} $ e come individuarli, e terzo cosa sia $ f(y) $. Ad esempio, io ho da studiare la convergenza della seguente serie di fourier:
$ g(x)={ (- x^2 con:-pi<= x<0 ),( x^2 con : 0<=x
$ g(x)$ è regolare? Inoltre,chi sono $ x_{+} $ e $ x_{-} $ e come li individuo? Chi è $ f(y) $?
Capite ovviamente che queste sono tutte le informazioni che mi servono affinchè possa sostituire questi valori nella formula per trovare la convergenza puntuale e quindi vedere la convergenza della serie di fourier. Vi prego di rispondermi con tutte le informazioni date in modo semplice e chiaro, usando se possibile come esempio la serie da me postata in modo da avere un riscontro oggettivo e non con solo formule. Sono davvero nelle vostre mani in quanto tra pochissimi giorni ho l'esame di analisi 2 e non ho ben capito questo concetto.
Mi affido al vostro buon senso!
$ g(x)={ (- x^2 con:-pi<= x<0 ),( x^2 con : 0<=x
$ g(x)$ è regolare? Inoltre,chi sono $ x_{+} $ e $ x_{-} $ e come li individuo? Chi è $ f(y) $?
Capite ovviamente che queste sono tutte le informazioni che mi servono affinchè possa sostituire questi valori nella formula per trovare la convergenza puntuale e quindi vedere la convergenza della serie di fourier. Vi prego di rispondermi con tutte le informazioni date in modo semplice e chiaro, usando se possibile come esempio la serie da me postata in modo da avere un riscontro oggettivo e non con solo formule. Sono davvero nelle vostre mani in quanto tra pochissimi giorni ho l'esame di analisi 2 e non ho ben capito questo concetto.
Mi affido al vostro buon senso!
Risposte
I simboli \( x_+ \) e \( x_- \) denotano semplicemente il fatto che stai calcolando dei limiti destri/sinistri: come hai effettivamente scritto, si ha per definizione
\[ f(x_+) = \lim_{y \to x^+} f(y) \qquad \text{e} \qquad f(x_-) = \lim_{y \to x^-} f(y) \]
Per quanto riguarda \( f(y) \), è sempre la solita \( f \) solo che avendo già utilizzato la \( x \) per denotare il punto di accumulazione è stato necessario un cambio di variabile.
Infine, la funzione \( g \) ha limite destro e sinistro in \( x = 0 \) uguali tra loro, quindi è continua in \( [-\pi, \pi] \) ed è in particolare continua a tratti. Avendo poi un punto angoloso in \( x = 0 \) ed essendo derivabile nel resto dell'intervallo, puoi senz'altro concludere che \( g \) è regolare a tratti.
\[ f(x_+) = \lim_{y \to x^+} f(y) \qquad \text{e} \qquad f(x_-) = \lim_{y \to x^-} f(y) \]
Per quanto riguarda \( f(y) \), è sempre la solita \( f \) solo che avendo già utilizzato la \( x \) per denotare il punto di accumulazione è stato necessario un cambio di variabile.
Infine, la funzione \( g \) ha limite destro e sinistro in \( x = 0 \) uguali tra loro, quindi è continua in \( [-\pi, \pi] \) ed è in particolare continua a tratti. Avendo poi un punto angoloso in \( x = 0 \) ed essendo derivabile nel resto dell'intervallo, puoi senz'altro concludere che \( g \) è regolare a tratti.
"Riccardo Desimini":
I simboli \( x_+ \) e \( x_- \) denotano semplicemente il fatto che stai calcolando dei limiti destri/sinistri: come hai effettivamente scritto, si ha per definizione
\[ f(x_+) = \lim_{y \to x^+} f(y) \qquad \text{e} \qquad f(x_-) = \lim_{y \to x^-} f(y) \]
Per quanto riguarda \( f(y) \), è sempre la solita \( f \) solo che avendo già utilizzato la \( x \) per denotare il punto di accumulazione è stato necessario un cambio di variabile.
Infine, la funzione \( g \) ha limite destro e sinistro in \( x = 0 \) uguali tra loro, quindi è continua in \( [-\pi, \pi] \) ed è in particolare continua a tratti. Avendo poi un punto angoloso in \( x = 0 \) ed essendo derivabile nel resto dell'intervallo, puoi senz'altro concludere che \( g \) è regolare a tratti.
Innanzitutto ti ringrazio per la tua risposta.Come hai fatto però a capire che la funzione \( g \) ha limite destro e sinistro in \( x = 0 \)??
Beh, perché
\[ \lim_{x \to 0^+} g(x) = \lim_{x \to 0^+} x^2 = 0 = \lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^-} -x^2 \]
\[ \lim_{x \to 0^+} g(x) = \lim_{x \to 0^+} x^2 = 0 = \lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^-} -x^2 \]
"Riccardo Desimini":
Beh, perché
\[ \lim_{x \to 0^+} g(x) = \lim_{x \to 0^+} x^2 = 0 = \lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^-} -x^2 \]
Scusa ma non ho ancora ben capito come hai fatto a dire che i limiti destro e sinistro valgono 0. E sopratutto come hai fatto a capire i valori di $ x_{+} $ e $ x_{-} $. Potresti spiegarmi tutto riportandomi tutti i passaggi? Forse potrei capire così .Grazie ancora e scusa se sto approfittando della tua disponibilità
Il teorema dice che se hai una funzione continua a tratti allora la serie di fourier associata converge alla funzione "normalizzata" (ovvero nei punti di discontinuità converge alla media aritmetica tra il limite dx e sx).
Giusto?
Se hai la funzione:
$ g(x)={ (- x^2 con:-pi<= x<0 ),( x^2 con : 0<=x
Questa è continua in tutto l'intervallo $[-\pi,\pi]$, giusto? (Prova a disegnarne un grafico)
Se ora estendi tale funzione con periodicità a tutto R ottieni una funzione di periodo $2\pi$ che è discontinua nei punti $(2k+1)\pi,k\in\mathbb{N}$
Ora il teorema ti dice che converge alla media tra il limite sinistro e destro. Quindi nei punti di discontinuità convergerà a 0.
$\lim_{x\to\pi}x^{2}-\lim_{x\to-\pi}-x^{2}=\pi^{2}-\pi^{2}=0$
Giusto?
Se hai la funzione:
$ g(x)={ (- x^2 con:-pi<= x<0 ),( x^2 con : 0<=x
Questa è continua in tutto l'intervallo $[-\pi,\pi]$, giusto? (Prova a disegnarne un grafico)
Se ora estendi tale funzione con periodicità a tutto R ottieni una funzione di periodo $2\pi$ che è discontinua nei punti $(2k+1)\pi,k\in\mathbb{N}$
Ora il teorema ti dice che converge alla media tra il limite sinistro e destro. Quindi nei punti di discontinuità convergerà a 0.
$\lim_{x\to\pi}x^{2}-\lim_{x\to-\pi}-x^{2}=\pi^{2}-\pi^{2}=0$
penso di aver capito ora... quindi basta guardare gli intervalli e fare i rispettivi limiti, dopo di che basta applicare la regolare e trovare il punto di convergenza. Grazie ancora 
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