Convergenza serie con parametro reale
Salve a tutti.
Qualche giorno fa all'appello di analisi ho trovato questo esercizio che mi chiedeva di stabilire per quali valori di x reale c'è convergenza assoluta e per quali semplice per la seguente serie
$sum_(n = 1)^(+∞) (n-1)/(n^2+1) x^n/(x+4)^n$
Io l'ho svolto così:
prima di tutto osserviamo che $(n-1)/(n^2+1) ~ 1/n$ per $x rarr +∞$ ed è noto che $sum1/n$ non converge,
e $x^n/(x+4)^n = (x/(x+4))^n$ dunque per $x=-4$ non è definita.
Per $x >= 0$ abbiamo che $x/(x+4) < 1$, e poiché $sumk^n < +∞ hArr k<1$, allora $sum(x/(x+4))^n$ converge. Dato che $(x/(x+4))^n >= (n-1)/(n^2+1)(x/(x+4))^n$ perchè $1/n <= 1$ allora per confronto anche la serie $sum_(n = 1)^(+∞)(n-1)/(n^2+1)(x/(x+4))^n$ converge assolutamente e semplicemente.
Per $x<-4$ abbiamo che sia $x<0$ sia $x+4<0$ dunque $x/(x+4) = |x|/(|x|-4) > 1$ di conseguenza $sum(x/(x+4))^n$ diverge. Poichè anche $sum(n-1)/(n^2+1)$ è divergente, allora sempre per confronto anche $sum_(n = 1)^(+∞)(n-1)/(n^2+1)(x/(x+4))^n$ è divergente assolutamente e semplicemente.
Per $-4 < x < 0$ abbiamo $x<0$ mentre $x-4>0$, dunque $sum(x/(x+4))^n$ è a segni alterni. Notiamo in questo caso che $|(x/(x+4))^n| = (|x|/(4-|x|))^n$ e che $|x|/(4-|x|) < 1$ se $x> -2$, dunque in questo caso $sum(x/(x+4))^n$ è assolutamente convergente, perciò anche semplicemente, e per confronto in modo analogo al caso $x >= 0$ si deduce che la serie $sum_(n = 1)^(+∞) (n-1)/(n^2+1) x^n/(x+4)^n$ converge.
Rimane il caso $-4 < x <= -2$ che è quello su cui non sono sicuro. infatti in questo caso il $ |x|/(4-|x|) > 1$ di conseguenza $sum(x/(x+4))^n$ è assolutamente divergente, ma dalla divergenza assoluta non possiamo dedurre divergenza semplice. Anche se riscrivo la serie come $sum(-1)^n(|x|/(4-|x|))^n$ (così da esplicitarne il segno alternato) non posso applicare il teorema di Leibniz poichè richiede che la successione sia infinitesima, e chiaramente non lo è.
Spero possiate aiutarmi perchè avendo l'orale tra qualche giorno mi verranno sicuramente chiesti gli errori che ho commesso nello scritto. Grazie in anticipo.
Qualche giorno fa all'appello di analisi ho trovato questo esercizio che mi chiedeva di stabilire per quali valori di x reale c'è convergenza assoluta e per quali semplice per la seguente serie
$sum_(n = 1)^(+∞) (n-1)/(n^2+1) x^n/(x+4)^n$
Io l'ho svolto così:
prima di tutto osserviamo che $(n-1)/(n^2+1) ~ 1/n$ per $x rarr +∞$ ed è noto che $sum1/n$ non converge,
e $x^n/(x+4)^n = (x/(x+4))^n$ dunque per $x=-4$ non è definita.
Per $x >= 0$ abbiamo che $x/(x+4) < 1$, e poiché $sumk^n < +∞ hArr k<1$, allora $sum(x/(x+4))^n$ converge. Dato che $(x/(x+4))^n >= (n-1)/(n^2+1)(x/(x+4))^n$ perchè $1/n <= 1$ allora per confronto anche la serie $sum_(n = 1)^(+∞)(n-1)/(n^2+1)(x/(x+4))^n$ converge assolutamente e semplicemente.
Per $x<-4$ abbiamo che sia $x<0$ sia $x+4<0$ dunque $x/(x+4) = |x|/(|x|-4) > 1$ di conseguenza $sum(x/(x+4))^n$ diverge. Poichè anche $sum(n-1)/(n^2+1)$ è divergente, allora sempre per confronto anche $sum_(n = 1)^(+∞)(n-1)/(n^2+1)(x/(x+4))^n$ è divergente assolutamente e semplicemente.
Per $-4 < x < 0$ abbiamo $x<0$ mentre $x-4>0$, dunque $sum(x/(x+4))^n$ è a segni alterni. Notiamo in questo caso che $|(x/(x+4))^n| = (|x|/(4-|x|))^n$ e che $|x|/(4-|x|) < 1$ se $x> -2$, dunque in questo caso $sum(x/(x+4))^n$ è assolutamente convergente, perciò anche semplicemente, e per confronto in modo analogo al caso $x >= 0$ si deduce che la serie $sum_(n = 1)^(+∞) (n-1)/(n^2+1) x^n/(x+4)^n$ converge.
Rimane il caso $-4 < x <= -2$ che è quello su cui non sono sicuro. infatti in questo caso il $ |x|/(4-|x|) > 1$ di conseguenza $sum(x/(x+4))^n$ è assolutamente divergente, ma dalla divergenza assoluta non possiamo dedurre divergenza semplice. Anche se riscrivo la serie come $sum(-1)^n(|x|/(4-|x|))^n$ (così da esplicitarne il segno alternato) non posso applicare il teorema di Leibniz poichè richiede che la successione sia infinitesima, e chiaramente non lo è.
Spero possiate aiutarmi perchè avendo l'orale tra qualche giorno mi verranno sicuramente chiesti gli errori che ho commesso nello scritto. Grazie in anticipo.
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