Convergenza serie con paramentro
salve a tutti..
devo fare il compiti di analisi e c'è un esercizio di cui non ho la minima idea su come risolverlo.
[tex]studiare \, al \, variare \, del \, parametro \, reale \, x, \, con \, x \neq 0, \, la \, convergenza \, semplice \, e \, assoluta \, della \, serie[/tex]
$ \sum_{n=2}^{+ \infty} \frac{1}{n ln(n^x)} (\frac{x+1}{x})^n $
spero possiate aiutarmi, grazie.
devo fare il compiti di analisi e c'è un esercizio di cui non ho la minima idea su come risolverlo.
[tex]studiare \, al \, variare \, del \, parametro \, reale \, x, \, con \, x \neq 0, \, la \, convergenza \, semplice \, e \, assoluta \, della \, serie[/tex]
$ \sum_{n=2}^{+ \infty} \frac{1}{n ln(n^x)} (\frac{x+1}{x})^n $
spero possiate aiutarmi, grazie.
Risposte
ti do solo un piccolo aiuto, ah prima di tutto è una serie di potenze esatto?
se è una serie di potenze
poni $ \zeta =(x+1)/(x) $
ora hai $ \sum_(2)^(+\infty) (1)/(n \ln(n^x)) \zeta^n $
ok ora continua tu..
se è una serie di potenze
poni $ \zeta =(x+1)/(x) $
ora hai $ \sum_(2)^(+\infty) (1)/(n \ln(n^x)) \zeta^n $
ok ora continua tu..
scusate, posto una mia strada come da regolamento al più presto
prima di tutto la riscrivo come $(\frac{1}{x}){\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{nlog(n)}(\frac{x+1}{x})^n }$ perché x è reale e quindi $\frac{1}{x}$ non da fastidio sulla convergenza
diciamo subito $\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{nlog(n)}$ diverge
per la convergenza assoluta la riscrivo $(\frac{1}{x}){\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{nlog(n)} (\| \frac{x+1}{x}\|)^n } $ e diverge anche se $-1<\frac{x+1}{x}<1$ per il criterio del confronto
per la convergenza semplice devo considerarare due casi
1. $0<\frac{x+1}{x}<1$ e non converge
2. $-1<\frac{x+1}{x}<0$ e mi ritrovo con una serie a termini alterni che converge per leibnitz, essendo $frac{1}{nlog(n)}$ decrescente a 0 per $n\rightarrow +\infty$ e quindi converge semplicemente per $-1
oss. finale: il fatto che la serie converga semplicemente ma non assolutamente è una verifica che l'assoluta convergenza è una condizione sufficiente e non necessaria alla convergenza semplice del teorema [tex]una \, serie \, assolutamente \, convergente \, è \, semplicemente \, convergente \,[/tex]
diciamo subito $\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{nlog(n)}$ diverge
per la convergenza assoluta la riscrivo $(\frac{1}{x}){\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{nlog(n)} (\| \frac{x+1}{x}\|)^n } $ e diverge anche se $-1<\frac{x+1}{x}<1$ per il criterio del confronto
per la convergenza semplice devo considerarare due casi
1. $0<\frac{x+1}{x}<1$ e non converge
2. $-1<\frac{x+1}{x}<0$ e mi ritrovo con una serie a termini alterni che converge per leibnitz, essendo $frac{1}{nlog(n)}$ decrescente a 0 per $n\rightarrow +\infty$ e quindi converge semplicemente per $-1
oss. finale: il fatto che la serie converga semplicemente ma non assolutamente è una verifica che l'assoluta convergenza è una condizione sufficiente e non necessaria alla convergenza semplice del teorema [tex]una \, serie \, assolutamente \, convergente \, è \, semplicemente \, convergente \,[/tex]
qualcuno che mi dica se va bene così?!?
contravvengo a qualche regola percui non ricevo risposta? è importante graie
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