Convergenza serie complessa

[Descartes1]

Salve, stavo cercando di dimostrare la convergenza di questa serie, ma non riesco proprio a concludere. Sono convinto che la serie converga, ma non riesco a mostrarlo. La serie incriminata è questa:

$sum abs(tanh^{-1}(i*n)*sinh(i*n))^n/n$ $,n in mathbb{N}-{0}$

[phaerrax]

Con \(\tanh^{-1}\) intendi \(\operatorname{artanh}\) o \(\frac1{\tanh}\)?

[Descartes1]

Ciao intendo $1/tanh$ dovrebbe esserci come argomento del valore assoluto $cosh(i*n)$ se non ho sbagliato le semplificazioni.

[phaerrax]

Allora hai
\[
\cosh(in)=\frac{e^{in}+e^{-in}}{2}=\cos n
\]
dunque la serie diventa
\[
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\lvert\cos n\rvert^n}{n}
\]
e dato che \(\lvert\cos n\rvert^n\) oscilla tra 0 e 1, mi verrebbe da dire che la serie diverge, ma non saprei davvero come dimostrarlo.

[Descartes1]

Direi invece che converge, perché per induzione si ha

$\exists a>0$ tale che $(abs(cosn))^n/n<1/n^(a+1)$

Però questo non va bene perché l'$a$ così trovato non è uniforme per ogni n.