Convergenza serie bilatera
Salve a tutti ragazzi ho problemi con il seguente esercizio:
Studiare la convergenza assoluta della serie nell'intervallo $ [-pi ; pi] $ :
$ sum_(-oo ;+oo ) (2^(abs(k))*e^(ikx))/(e^(abs(k)) $ (l'indice della serie è k).
Individuare la funzione somma della serie e calcolare l'integrale del quadrato del modulo della funzione somma nell'intervallo $ [-pi ; pi] $.
Per la convergenza ho fatto così:
Ho diviso la serie in: $ sum_(k=-1)^(-oo ) (2^(-k)*e^(ikx))/(e^(-k))+sum_(k=0)^(+oo ) (2^(k)*e^(ikx))/(e^(k)) $.
Ho fatto la serie dei moduli per studiare la convergenza assoluta, e mi risulta:
$ sum_(k=-1)^(-oo ) (2^(-k))/(e^(-k)) $ che è una serie geometrica di ragione $ e/2 $ e quindi convergente in tutto R.
$ sum_(k=0)^(+oo ) (2^(k))/(e^(k)) $ che è di nuovo una serie geometrica di ragione $ 2/e $ e convergente in tutto R.
Ne deduco quindi che la serie di partenza converge assolutamente in tutto R.
Il mio dubbio è che il problema richiedeva di studiare la convergenza assoluta in $ [-pi ; pi] $ mentre e a me viene convergente in tutto R, e quindi credo di aver sbagliato qualcosa.
Studiare la convergenza assoluta della serie nell'intervallo $ [-pi ; pi] $ :
$ sum_(-oo ;+oo ) (2^(abs(k))*e^(ikx))/(e^(abs(k)) $ (l'indice della serie è k).
Individuare la funzione somma della serie e calcolare l'integrale del quadrato del modulo della funzione somma nell'intervallo $ [-pi ; pi] $.
Per la convergenza ho fatto così:
Ho diviso la serie in: $ sum_(k=-1)^(-oo ) (2^(-k)*e^(ikx))/(e^(-k))+sum_(k=0)^(+oo ) (2^(k)*e^(ikx))/(e^(k)) $.
Ho fatto la serie dei moduli per studiare la convergenza assoluta, e mi risulta:
$ sum_(k=-1)^(-oo ) (2^(-k))/(e^(-k)) $ che è una serie geometrica di ragione $ e/2 $ e quindi convergente in tutto R.
$ sum_(k=0)^(+oo ) (2^(k))/(e^(k)) $ che è di nuovo una serie geometrica di ragione $ 2/e $ e convergente in tutto R.
Ne deduco quindi che la serie di partenza converge assolutamente in tutto R.
Il mio dubbio è che il problema richiedeva di studiare la convergenza assoluta in $ [-pi ; pi] $ mentre e a me viene convergente in tutto R, e quindi credo di aver sbagliato qualcosa.
Risposte
[regolamento][/regolamento]
La funzione somma è periodica di periodo $2\pi$. Essa vale:
$sum_(k=-oo)^(+oo)2^|k|/e^|k|e^(ikx)=$
$=1+sum_(k=-oo)^(-1)2^(-k)/e^(-k)e^(ikx)+sum_(k=1)^(+oo)2^k/e^ke^(ikx)=$
$=1+sum_(k=1)^(+oo)2^(k)/e^(k)e^(-ikx)+sum_(k=1)^(+oo)2^k/e^ke^(ikx)=$
$=1+sum_(k=1)^(+oo)[2/ee^(-ix)]^k+sum_(k=1)^(+oo)[2/ee^(ix)]^k=$
$=1+2/ee^(-ix)/(1-2/ee^(-ix))+2/ee^(ix)/(1-2/ee^(ix))=$
$=1+(2e^(-ix))/(e-2e^(-ix))+(2e^(ix))/(e-2e^(ix))=$
$=(e^2-4)/(e^2+4-4ecosx)$
"Gianmarco001":
Il mio dubbio è che il problema richiedeva di studiare la convergenza assoluta in $[-pi;pi]$ mentre a me viene convergente in tutto R, e quindi credo di aver sbagliato qualcosa.
La funzione somma è periodica di periodo $2\pi$. Essa vale:
$sum_(k=-oo)^(+oo)2^|k|/e^|k|e^(ikx)=$
$=1+sum_(k=-oo)^(-1)2^(-k)/e^(-k)e^(ikx)+sum_(k=1)^(+oo)2^k/e^ke^(ikx)=$
$=1+sum_(k=1)^(+oo)2^(k)/e^(k)e^(-ikx)+sum_(k=1)^(+oo)2^k/e^ke^(ikx)=$
$=1+sum_(k=1)^(+oo)[2/ee^(-ix)]^k+sum_(k=1)^(+oo)[2/ee^(ix)]^k=$
$=1+2/ee^(-ix)/(1-2/ee^(-ix))+2/ee^(ix)/(1-2/ee^(ix))=$
$=1+(2e^(-ix))/(e-2e^(-ix))+(2e^(ix))/(e-2e^(ix))=$
$=(e^2-4)/(e^2+4-4ecosx)$
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