Convergenza serie al variare del parametro alpha
salve! mi servirebbe una mano con lo studio di questa serie
$ sum_(n =1 \ldots) ^oo(4alpha -12)^nsin(alpha -3)^n $
ho iniziato studiando la convergenza assoluta, ma sinceramente dopo non so più come procedere. Ho pensato di ricondurmi alla serie geometrica di ragione q^n ma praticamente non saprei come fare...
il risultato è $ 5/2< alpha< 7/2 $
$ sum_(n =1 \ldots) ^oo(4alpha -12)^nsin(alpha -3)^n $
ho iniziato studiando la convergenza assoluta, ma sinceramente dopo non so più come procedere. Ho pensato di ricondurmi alla serie geometrica di ragione q^n ma praticamente non saprei come fare...
il risultato è $ 5/2< alpha< 7/2 $
Risposte
Ciao cechuz,
Benvenuto/a sul forum!
Dal testo che hai scritto non è chiaro se è l'argomento del seno elevato alla $n$ o è proprio la funzione seno. In quest'ultimo caso si ha:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty}(4\alpha -12)^n sin^n(\alpha -3) = \sum_{n = 1}^{+\infty}[(4\alpha -12) sin(\alpha -3)]^n $
L'ultima serie scritta è una serie geometrica che converge se $|(4\alpha -12) sin(\alpha -3)| < 1 \iff |sin(\alpha - 3)| < 1/(4|\alpha - 3|)$ la cui soluzione non è così semplice come quella che hai riportato, ma comunque si può considerare il fatto che $\AA \alpha \in \RR $ il modulo della funzione seno è certamente minore di 1 e quindi... Nell'altro caso invece si ha:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty}(4\alpha -12)^n sin[(\alpha -3)^n] $
Qui si può studiare la convergenza assoluta e, sfruttando ancora il fatto che $\AA \alpha \in \RR $ il modulo della funzione seno è certamente minore di $1$, si ha:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty}|(4\alpha -12)^n sin[(\alpha -3)^n]| <= \sum_{n = 1}^{+\infty}|4\alpha -12|^n $
L'ultima serie scritta è una serie geometrica privata del termine per $n = 0 $, che converge se $|4\alpha -12| < 1 \iff 11/4 < \alpha < 13/4 $ per cui non mi torna il risultato che hai scritto, ma potrei anche aver commesso qualche errore...
Certamente la serie proposta converge a $0 $ per $\alpha = 3 \in (11/4, 13/4) $
Benvenuto/a sul forum!
Dal testo che hai scritto non è chiaro se è l'argomento del seno elevato alla $n$ o è proprio la funzione seno. In quest'ultimo caso si ha:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty}(4\alpha -12)^n sin^n(\alpha -3) = \sum_{n = 1}^{+\infty}[(4\alpha -12) sin(\alpha -3)]^n $
L'ultima serie scritta è una serie geometrica che converge se $|(4\alpha -12) sin(\alpha -3)| < 1 \iff |sin(\alpha - 3)| < 1/(4|\alpha - 3|)$ la cui soluzione non è così semplice come quella che hai riportato, ma comunque si può considerare il fatto che $\AA \alpha \in \RR $ il modulo della funzione seno è certamente minore di 1 e quindi... Nell'altro caso invece si ha:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty}(4\alpha -12)^n sin[(\alpha -3)^n] $
Qui si può studiare la convergenza assoluta e, sfruttando ancora il fatto che $\AA \alpha \in \RR $ il modulo della funzione seno è certamente minore di $1$, si ha:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty}|(4\alpha -12)^n sin[(\alpha -3)^n]| <= \sum_{n = 1}^{+\infty}|4\alpha -12|^n $
L'ultima serie scritta è una serie geometrica privata del termine per $n = 0 $, che converge se $|4\alpha -12| < 1 \iff 11/4 < \alpha < 13/4 $ per cui non mi torna il risultato che hai scritto, ma potrei anche aver commesso qualche errore...
Certamente la serie proposta converge a $0 $ per $\alpha = 3 \in (11/4, 13/4) $
ciao pilloeffe, grazie della risposta! la $ n $ si riferiva all'argomento del seno, scusa l'imprecisione. La serie corretta è la seguente: $ sum_(n = 1\ldots)^oo (4alpha-12)^nsin((alpha-3)^n) $
non capisco perchè il risultato non esca, è sicuramente quello che ho scritto perchè è un esercizio preso da un esame. Forse si svolge in maniera differente...
non capisco perchè il risultato non esca, è sicuramente quello che ho scritto perchè è un esercizio preso da un esame. Forse si svolge in maniera differente...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo