Convergenza serie
Come faccio a far vedere che la serie
[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \left\frac{1}{n+5ln^3(n)}\right[/tex]
diverge?
[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \left\frac{1}{n+5ln^3(n)}\right[/tex]
diverge?
Risposte
Dato che
[tex]\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\log^3 n}{n}=0[/tex]
(si può vedere con De L'Hopital)
puoi dire che
[tex]\displaystyle\frac{1}{n+5 \log^3 n}\geq \frac{1}{n+5n}=\frac{1}{6n}[/tex]
(almeno da un certo $N$ in poi)
e quindi dato che la serie armonica di ragione 1 diverge, lo fa anche la tua.
Paola
[tex]\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\log^3 n}{n}=0[/tex]
(si può vedere con De L'Hopital)
puoi dire che
[tex]\displaystyle\frac{1}{n+5 \log^3 n}\geq \frac{1}{n+5n}=\frac{1}{6n}[/tex]
(almeno da un certo $N$ in poi)
e quindi dato che la serie armonica di ragione 1 diverge, lo fa anche la tua.
Paola
Grazie mille,
però adesso mi viene in capoccia un altro problema.
Io per provare a risolvero velocemente, l'ho buttata sulla convergenza integrale:
[tex]\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{n+\ln^3(n)}[/tex]
che, per dire che converge, da quello che ho capito io, sicuramente erroreneamente, basta far vedere che il grafico della funzione integranda sta sotto quello di 1/x.
E in effetti sta tutto sotto (da un certo punto in poi).
Mi sono appellato al seguente teorema:
Quindi a me verrebbe da dire che converge, sta roba...
Dove sbaglio?
però adesso mi viene in capoccia un altro problema.
Io per provare a risolvero velocemente, l'ho buttata sulla convergenza integrale:
[tex]\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{n+\ln^3(n)}[/tex]
che, per dire che converge, da quello che ho capito io, sicuramente erroreneamente, basta far vedere che il grafico della funzione integranda sta sotto quello di 1/x.
E in effetti sta tutto sotto (da un certo punto in poi).
Mi sono appellato al seguente teorema:
Consizione sufficiente perchè esista [tex]\int_{a}^{\infty}f(x)[/tex] è che [tex]f(x)[/tex] sia infinitesima, per [tex]x\rightarrow\infty[/tex], di ordine [tex]a[/tex] rispetto ad [tex]1/x[/tex] con [tex]a>1[/tex]
Quindi a me verrebbe da dire che converge, sta roba...
Dove sbaglio?
Spero tu non abbia confuso i due $a$ che hai scritto, perchè sono ben distiniti. In ogni caso non è proprio come hai detto tu, infatti quella condizione sufficiente non è verificata nel tuo caso, in quanto $1/(n+ln^3(n)) sim 1/n$ per $n->+oo$.
"mensola":
Io per provare a risolvero velocemente, l'ho buttata sulla convergenza integrale:
[tex]\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{n+\ln^3(n)}[/tex]
che, per dire che converge, da quello che ho capito io, sicuramente erroreneamente, basta far vedere che il grafico della funzione integranda sta sotto quello di 1/x.
E in effetti sta tutto sotto (da un certo punto in poi).
Ma non è vero.
Una condizione sufficiente alla convergenza di un integrale improprio di una funzione positiva è che la funzione stia definitivamente sotto il grafico di una potenza con esponente [tex]$>1$[/tex]; cosa che in questo caso non è verificata.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo