Convergenza serie
Ciao, volevo essere sicuro sulla correttezza del mio ragionamento.
$ sum_(n = 1)^(b = oo) $ $2^n(n^2+sin(e^n))/(3^n)$
Io l'ho fatto in due modi:
1) Ho semplificato asintoticamente la successione, cioè ho scritto che $a_n=((2^n*n^2)(1+o(1)))/3^n$. A questo punto ho applicato il criterio della radice alla successione asintotica, e, siccome quest'ultima convergeva, ho dedotto che la serie di partenza convergeva.
2) Ho semplificato asintoticamente la successione di partenza, e poi, usando il teorema del confronto, ho ragionato così:
$((2/3)^n*n^2)<(1/n^a)$, con $a>1$, definitivamente. Se ora riesco a trovare dei valori di $a>1$ per i quali la disuguaglianza è vera, la serie convergerà. Per dimostrare che questa disuguaglianza è vera ho calcolato $lim_n->+oo$ $(2^n*n^2)/(3^n*n^a)$. Notiamo, dunque che, per qualsiasi $a>1$, il limite vale 0, e quindi la disuguaglianza è verificata: di conseguenza, la serie "asintotica" converge e, per il criterio del confronto asintotico, anche la serie di partenza convergerà. E' giusto come ho fatto?
$ sum_(n = 1)^(b = oo) $ $2^n(n^2+sin(e^n))/(3^n)$
Io l'ho fatto in due modi:
1) Ho semplificato asintoticamente la successione, cioè ho scritto che $a_n=((2^n*n^2)(1+o(1)))/3^n$. A questo punto ho applicato il criterio della radice alla successione asintotica, e, siccome quest'ultima convergeva, ho dedotto che la serie di partenza convergeva.
2) Ho semplificato asintoticamente la successione di partenza, e poi, usando il teorema del confronto, ho ragionato così:
$((2/3)^n*n^2)<(1/n^a)$, con $a>1$, definitivamente. Se ora riesco a trovare dei valori di $a>1$ per i quali la disuguaglianza è vera, la serie convergerà. Per dimostrare che questa disuguaglianza è vera ho calcolato $lim_n->+oo$ $(2^n*n^2)/(3^n*n^a)$. Notiamo, dunque che, per qualsiasi $a>1$, il limite vale 0, e quindi la disuguaglianza è verificata: di conseguenza, la serie "asintotica" converge e, per il criterio del confronto asintotico, anche la serie di partenza convergerà. E' giusto come ho fatto?
Risposte
OT: perchè $2^logn=n^log2$?
Mi pare che entrambi i modi in cui hai ragionato siano, sostanzialmente, equivalenti. In ogni caso puoi anche dire semplicemente che la serie è a termini positivi limitati da
[tex]$\frac{2^n}{3^n}(n^2-1)\le\frac{2^n}{3^n}(n^2+\sin(e^n))\le\frac{2^n}{3^n}(n^2+1)$[/tex]
da cui, sia con il criterio della radice che con quello del confronto deduci la convergenza.
Per l'altra tua domanda, in generale se $\alpha>0,\ beta>0$ allora [tex]$\alpha^{\log\beta}=beta^{\log\alpha}$[/tex]. usando infatti la definizione di esponenziale: [tex]$x^y=e^{y\log x}$[/tex] segue
[tex]$\alpha^{\log\beta}=e^{\log\beta\log\alpha}=e^{\log\alpha\log\beta}=\beta^{\log\alpha}$[/tex]
[tex]$\frac{2^n}{3^n}(n^2-1)\le\frac{2^n}{3^n}(n^2+\sin(e^n))\le\frac{2^n}{3^n}(n^2+1)$[/tex]
da cui, sia con il criterio della radice che con quello del confronto deduci la convergenza.
Per l'altra tua domanda, in generale se $\alpha>0,\ beta>0$ allora [tex]$\alpha^{\log\beta}=beta^{\log\alpha}$[/tex]. usando infatti la definizione di esponenziale: [tex]$x^y=e^{y\log x}$[/tex] segue
[tex]$\alpha^{\log\beta}=e^{\log\beta\log\alpha}=e^{\log\alpha\log\beta}=\beta^{\log\alpha}$[/tex]
ok
Ciao, ho questa serie, che va da n=0 a più infinito, della successione $a_n=(n!-4^n)/(3^n+n^n)$. Devo studiarne il carattere. Questo esercizio può essere risolto agevolmente ricorrendo al criterio del rapporto o della radice, però, volevo sapere se è giusto come ho applicato il criterio del confronto.
Ho cercato di dimostrare che la serie asintotica $(n! /n^n)<1/n^a$, $a>1$. Per verificare la correttezza dell'uguaglianza, calcolo : $lim_n->+oo$ $(n!n^a)/n^n$. Se il limite vale 0, allora la serie converge. Il dubbio che ho è sul calcolo di quel limite. In particolare, volevo sapere se, dal momento che al denominatore ho $n^n$ (che va a più infinito più velocemente di qualsiasi cosa), il limite è uguale a 0 qualunque sia $a$. In altre parole, il limite del rapporto $(n!*n^10000000)/n^n$ fa comunque 0? Grazie mille
Ho cercato di dimostrare che la serie asintotica $(n! /n^n)<1/n^a$, $a>1$. Per verificare la correttezza dell'uguaglianza, calcolo : $lim_n->+oo$ $(n!n^a)/n^n$. Se il limite vale 0, allora la serie converge. Il dubbio che ho è sul calcolo di quel limite. In particolare, volevo sapere se, dal momento che al denominatore ho $n^n$ (che va a più infinito più velocemente di qualsiasi cosa), il limite è uguale a 0 qualunque sia $a$. In altre parole, il limite del rapporto $(n!*n^10000000)/n^n$ fa comunque 0? Grazie mille
"Soscia":
Ciao, ho questa serie, che va da n=0 a più infinito, della successione $a_n=(n!-4^n)/(3^n+n^n)$. Devo studiarne il carattere. Questo esercizio può essere risolto agevolmente ricorrendo al criterio del rapporto o della radice, però, volevo sapere se è giusto come ho applicato il criterio del confronto.
Ho cercato di dimostrare che la serie asintotica $(n! /n^n)<1/n^a$, $a>1$. Per verificare la correttezza dell'uguaglianza, calcolo : $lim_n->+oo$ $(n!n^a)/n^n$. Se il limite vale 0, allora la serie converge. Il dubbio che ho è sul calcolo di quel limite. In particolare, volevo sapere se, dal momento che al denominatore ho $n^n$ (che va a più infinito più velocemente di qualsiasi cosa), il limite è uguale a 0 qualunque sia $a$. In altre parole, il limite del rapporto $(n!*n^10000000)/n^n$ fa comunque 0? Grazie mille
qualcuno può aiutarmi?
"Soscia":
Ciao, ho questa serie, che va da n=0 a più infinito, della successione $a_n=(n!-4^n)/(3^n+n^n)$. Devo studiarne il carattere. Questo esercizio può essere risolto agevolmente ricorrendo al criterio del rapporto o della radice, però, volevo sapere se è giusto come ho applicato il criterio del confronto.
Ho cercato di dimostrare che la serie asintotica $(n! /n^n)<1/n^a$, $a>1$.
Scusami, una volta che hai scoperto che $a_n$ è asintotica a $(n!)/n^n$ perchè mai dovresti determinare $a$? Potresti usare il criterio del rapporto, e chi s'è visto s'è visto
."Soscia":
Per verificare la correttezza dell'uguaglianza, calcolo : $lim_n->+oo$ $(n!n^a)/n^n$. Se il limite vale 0, allora la serie converge. Il dubbio che ho è sul calcolo di quel limite. In particolare, volevo sapere se, dal momento che al denominatore ho $n^n$ (che va a più infinito più velocemente di qualsiasi cosa), il limite è uguale a 0 qualunque sia $a$. In altre parole, il limite del rapporto $(n!*n^10000000)/n^n$ fa comunque 0? Grazie mille
Per il calcolo di quel limite potresti utilizzare il criterio del rapporto (per successioni) alla successione:
$b_n= (n! n^a)/n^n$
Non ho fatto i conti, ma "credo" siano agevoli, prova e fammi sapere
"Mathematico":
[quote="Soscia"]Ciao, ho questa serie, che va da n=0 a più infinito, della successione $a_n=(n!-4^n)/(3^n+n^n)$. Devo studiarne il carattere. Questo esercizio può essere risolto agevolmente ricorrendo al criterio del rapporto o della radice, però, volevo sapere se è giusto come ho applicato il criterio del confronto.
Ho cercato di dimostrare che la serie asintotica $(n! /n^n)<1/n^a$, $a>1$.
Scusami, una volta che hai scoperto che $a_n$ è asintotica a $(n!)/n^n$ perchè mai dovresti determinare $a$? Potresti usare il criterio del rapporto, e chi s'è visto s'è visto
."Soscia":
Per verificare la correttezza dell'uguaglianza, calcolo : $lim_n->+oo$ $(n!n^a)/n^n$. Se il limite vale 0, allora la serie converge. Il dubbio che ho è sul calcolo di quel limite. In particolare, volevo sapere se, dal momento che al denominatore ho $n^n$ (che va a più infinito più velocemente di qualsiasi cosa), il limite è uguale a 0 qualunque sia $a$. In altre parole, il limite del rapporto $(n!*n^10000000)/n^n$ fa comunque 0? Grazie mille
Per il calcolo di quel limite potresti utilizzare il criterio del rapporto (per successioni) alla successione:
$b_n= (n! n^a)/n^n$
Non ho fatto i conti, ma "credo" siano agevoli, prova e fammi sapere[/quote]
Ciao, allora, applicando il criterio del rapporto l'esercizio viene, ma ho provato a farlo anche applicando soltanto il criterio del confronto. Il dubbio che ho è se il limite che ho scritto nell'ultimo post fa 0. Se quel limite fa 0 la serie deve per forza convergere.
Ma infatti io ti ho consigliato il criterio del rapporto per successioni, così che tu possa risolvere il limite. Guarda questa dispensa, provaci da solo, se non ci riesci, posta i passaggi che hai fatto che controlliamo insieme 
"Mathematico":
Ma infatti io ti ho consigliato il criterio del rapporto per successioni, così che tu possa risolvere il limite. Guarda questa dispensa, provaci da solo, se non ci riesci, posta i passaggi che hai fatto che controlliamo insieme
Ah, ok, avevo capito male. Ma siccome al denominatore c'è $n^n$ non si può concludere che il limite è 0?
Certo, ma questo lo puoi fare se hai una certa dimestichezza. E se il prof ti chiedesse il perchè?
Un'altra cosa, se io mi trovassi di fronte alla risoluzione da te proposta, considererei lo svolgimento ridondante.
Un'altra cosa, se io mi trovassi di fronte alla risoluzione da te proposta, considererei lo svolgimento ridondante
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Scusami, ho l'impressione che il precedente messaggio possa essere frainteso.
Quello che io intendevo dire è che in questo caso quell' $n^n$ fa sì che il limite sia zero. In generale però non è così, infatti potresti provare a risolvere:
[tex]$\lim_{n\to\infty} \frac{n!e^n}{\sqrt{n}n^n}[/tex]
Quello che io intendevo dire è che in questo caso quell' $n^n$ fa sì che il limite sia zero. In generale però non è così, infatti potresti provare a risolvere:
[tex]$\lim_{n\to\infty} \frac{n!e^n}{\sqrt{n}n^n}[/tex]
"Mathematico":
Scusami, ho l'impressione che il precedente messaggio possa essere frainteso.
Quello che io intendevo dire è che in questo caso quell' $n^n$ fa sì che il limite sia zero. In generale però non è così, infatti potresti provare a risolvere:
[tex]$\lim_{n\to\infty} \frac{n!e^n}{\sqrt{n}n^n}[/tex]
Quindi, riassumendo, qualora all'esame mi capiti un limite come quello che hai scritto, l'unico modo per dimostrare il limite è applicare il criterio del rapporto alla successione: e se il limite viene 1, c'è un altro modo per risolverlo? Per esempio, il limite del rapporto di prima viene 1, quindi non posso concludere nulla.
Il criterio del rapporto per successioni è inconcludente per il limite da me proposto.
$\lim_{n\to \infty} \frac{n! e^n}{\sqrt{n}n^n} = \sqrt{2 \pi}$ e lo puoi far vedere con l'approssimazione di Stirling. Il mio non era un esercizio per applicare il criterio del rapporto, ma per mettere in evidenza il fatto che quando c'è $n^n$ al denominatore, il limite non è sempre zero. Scusami se mi sono espresso malamente
$\lim_{n\to \infty} \frac{n! e^n}{\sqrt{n}n^n} = \sqrt{2 \pi}$ e lo puoi far vedere con l'approssimazione di Stirling. Il mio non era un esercizio per applicare il criterio del rapporto, ma per mettere in evidenza il fatto che quando c'è $n^n$ al denominatore, il limite non è sempre zero. Scusami se mi sono espresso malamente
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