Convergenza serie
studiare il carattere della serie al variare di $beta$ in $(0, +oo)$
$\sum_{n=2}^(+oo) 1/(n*(logn)^beta)$
è uno di qui casi patologici in cui la successione è infinitesima di ordine superiore a $1$ ma inferiore ad $alpha AA alpha in (0,+oo)$.
Non so come fare...
$\sum_{n=2}^(+oo) 1/(n*(logn)^beta)$
è uno di qui casi patologici in cui la successione è infinitesima di ordine superiore a $1$ ma inferiore ad $alpha AA alpha in (0,+oo)$.
Non so come fare...
Risposte
Quali metodi di convergenza conosci? Io proverei a lavorare con il criterio integrale.
Se ti può interessare trovi la trattazione di questa serie sul libro di Rudin Principi di analisi matematica, §3.29, pag. 59 della prima edizione italiana.
"Mathematico":
Quali metodi di convergenza conosci? Io proverei a lavorare con il criterio integrale.
eh si, ma anche lì poi non vado distante...
[tex]\displaystyle \int_2^\infty \frac{1}{x \log^\beta(x) dx} =\lim_{M\to\infty} \int_2^M \frac{1}{x \log^\beta (x)}dx[/tex]
L'integrale che interviene è pressochè immediato infatti è della forma:
[tex]\displaystyle\int f'(x)f(x)^\alpha dx = \frac{f(x)^{\alpha+1}}{\alpha + 1}[/tex] $\alpha \ne -1$
In questo caso $\alpha= -\beta$ e dunque $f(x)= log(x)$.
Facendo i conti alla fine otterrai la convergenza dell'integrale dipende da $beta$.
Devi considerare a parte l'integrale per $beta= 1$ ma è banale
La soluzione dovrebbe essere (modulo errori di calcolo) [tex]\beta>1\implies \text{convergenza}[/tex] mentre [tex]0<\beta\le1\implies \text{divergenza}[/tex]
Prova e dimmi com'è andata a finire
Ciao
L'integrale che interviene è pressochè immediato infatti è della forma:
[tex]\displaystyle\int f'(x)f(x)^\alpha dx = \frac{f(x)^{\alpha+1}}{\alpha + 1}[/tex] $\alpha \ne -1$
In questo caso $\alpha= -\beta$ e dunque $f(x)= log(x)$.
Facendo i conti alla fine otterrai la convergenza dell'integrale dipende da $beta$.
Devi considerare a parte l'integrale per $beta= 1$ ma è banale
La soluzione dovrebbe essere (modulo errori di calcolo) [tex]\beta>1\implies \text{convergenza}[/tex] mentre [tex]0<\beta\le1\implies \text{divergenza}[/tex]
Prova e dimmi com'è andata a finire
Ciao
"Mathematico":Confermo: questo risultato è corretto. Bravo Mathematico.
La soluzione dovrebbe essere (modulo errori di calcolo) [tex]\beta>1\implies \text{convergenza}[/tex] mentre [tex]0<\beta\le1\implies \text{divergenza}[/tex]
"dissonance":
Confermo: questo risultato è corretto. Bravo Mathematico.
Grazie
è vero! non ci avevo minimamente pensato che si potesse calcolare l'integrale indefinito!
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