Convergenza serie

[enpires1]

Ciao ragazzi!! Ho qualche problemino con le serie, e siccome il mio libro non le tratta a dovere ed inoltre non ho trovato materiale online mi rivolgo a voi...
Ho in generale difficoltà a trovare la convergenza di una serie, comunque sia ho provato a fare questo esercizio

Trovare i valori Reali di $a$ per i quali $\sum_{n=0}^\infty (a^n)/(1+n+a)$ converge
Sfruttando il criterio del rapporto ($\lim_{k \to \infty}a_(k+1)/a_k = l rArr \sum_{n=0}^\infty a_k$ converge) ho posto che
$\lim_{n \to \infty} (a^(n+1))/(1+n+1+a) * (1+n+a)/(a^n) < 1$
ovvero
$\lim_{n \to \infty} (a^(n+1))/(a^n) * (1+n+a)/(2+n+a) < 1$
$\lim_{n \to \infty} a * ((1+n+a) - (2+n+a))/(2+n+a) < 0 rArr \lim_{n \to \infty} -a/(2+n+a) < 0$
Infine, il Numeratore è positivo quando $ a < 0$, il Denominatore quando $a > -(n+2)$ ovvero $a > -\infty$ cioè sempre
Ne deduco che tutta la frazione è positiva quando $a>0$
ora... siccome $a > 0$ non è tra le soluzioni.... dove ho sbagliato???

Grazie in anticipo!!

[Lord K]

Se $a>0$ allora tu dici che:

$-a/(2+n+a)>0$

vedi l'errore?

[enpires1]

okok ci sono ci sono, mi sono perso un meno per strada
quindi ricapitolando
N > 0 se $ -a > 0 \rArr a<0$
il denomimnatore resta sempre positivo...
ma il problema si pone lo stesso... perchè nemmeno $a<0$ è nelle soluzioni...

[Lord K]

Osserva che se $|a|>1$ per $n to +oo$

$|a^n/(1+n+a)| \to +oo$

Allora diverge per forza.

Se $|a|=1$ la serie è la serie armonice e quindi divergente.
Infine se $|a|<1$ allora esiste $alpha=1/a$ tale che:

$|a^n/(1+n+a)| = |1/(alpha^(n-1)[(1+n)alpha+1)]|$

da qui con il criterio del rapporto:

$lim_(n \to oo) 1/(alpha^(n)[(1+n+1)alpha+1])*alpha^(n-1)[(1+n)alpha+1] =lim_(n \to oo) 1/alpha * [(2+n)alpha+1]/[(1+n)alpha+1] = 1/alpha = a < 1$

Ovvero la serie converge.