Convergenza serie

[myl1]

Non riesco a capire come trovare la convergenza puntuale e uniforme nelle serie di funzioni..
qualcuno puo' aiutarmi?
grazie

[elgiovo]

Basta vedere la definizione delle due convergenze. Quella puntuale si verifica se $forall varepsilon >0$ e per ogni $x in I$ esiste $nu_(varepsilon,x) in RR$ tale che $|f_k(x)-f(x)| nu_(varepsilon,x)$. La convergenza uniforme si verifica invece se $forall varepsilon >0$ esiste $nu_varepsilon in RR$ tale che $|f_k(x)-f(x)|nu_epsilon$, quindi la differenza sta nella dipendenza o no di $nu$ dalla particolare $ x in I$.
C'è poi un'altra definizione di convergenza uniforme, più utile negli esercizi: la successione $f_k$ converge uniformemente verso $f$ se $lim_(k rightarrow +oo)max{|f_k(x)-f(x)| : x in [a,b]}=0$.
Un esempio: prendi la successione $f_k(x)=1/k x$, in $[0,1]$. In questo caso, $max{|1/k x-0| : x in [0,1]}$ è $1/k$, e tale quantità tende a $0$ per $k rightarrow oo$, quindi la successione converge uniformemente in $[0,1]$ verso $f(x)=0$.