Convergenza serie
Buongiorno, stavo svolgendo un appello di analisi 1, ma non sono riuscito a risolvere un esercizio in qui mi viene chiesta la convergenza della serie, lascio qui lo svolgiemnto del prof, il seno si può togliere senza problemi dato che oscilla tra 0 e 1 (-1
Risposte
La presenza del $log$ che effetto ha?
in che senso che "effetto"?
Ciao PierFrancescoRossini,
Io userei la ben nota disuguaglianza $log x < x \qquad \AA x > 0 $ e quindi, posto $x := (n + 1)^a \qquad \AA a > 0 $ si ha:
$ log(n + 1)^a < (n + 1)^a \implies log(n + 1) < 1/a (n + 1)^a $
Io userei la ben nota disuguaglianza $log x < x \qquad \AA x > 0 $ e quindi, posto $x := (n + 1)^a \qquad \AA a > 0 $ si ha:
$ log(n + 1)^a < (n + 1)^a \implies log(n + 1) < 1/a (n + 1)^a $
"pilloeffe":
Ciao PierFrancescoRossini,
Io userei la ben nota disuguaglianza $log x < x \qquad \AA x > 0 $ e quindi, posto $x := (n + 1)^a \qquad \AA a > 0 $ si ha:
$ log(n + 1)^a < (n + 1)^a \implies log(n + 1) < 1/a (n + 1)^a $
disuguaglianza chiara, ma continua ad essermi ignoto il procedimento per avere esponente 3/2 al denominatore, grazie
Beh, basta che consideri $a = 1/2 > 0 $ e che $(n + 1)^a $ [tex]\sim[/tex] $ n^a $ per $n \to +infty $
"PierFrancescoRossini":
in che senso che "effetto"?
Nel senso: se il $log$ c’è o non c’è le cose vanno allo stesso modo?
In altri termini, le successioni $(log(n+1))/(n^2)$ ed $1/n^2$ hanno lo stesso comportamento? Tendono a zero allo stesso modo, i.e. con la stessa “rapidità”?
Se lo fanno, perché? Come lo dimostri?
Se non lo fanno, quale delle due va “più rapidamente” a zero? Qual è l’ordine di infinitesimo di quella “più lenta”?
grazie!
"PierFrancescoRossini":
grazie!
Di cosa? Delle domande?
Prego.
Però preferirei discutere della situazione, piuttosto che ricevere prematuri ringraziamenti.
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