Convergenza serie
vorrei sapere se ho svolto bene questa serie $ \sum_{n =2 \ldots}^{+\infty} \frac{\ (\alpha-1)^n}{\log(n)} \cdot (\frac{\ n+2}{\ n+1})^{n^2} $
allora prima di tutto non è una serie a termini positivi quindi è necessario studiarla in valore assoluto, poi ho pensato di applicare il criterio della radice. quindi avremo:$ \lim_{n\rightarrow +\infty} \ [ \frac{\ |\alpha-1|^n}{\log(n)} \cdot (\frac{\ n+2}{\ n+1})^{n^2}]^{1/n} $ che è uguale a $ \lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{\ |\alpha-1|}{(\log(n))^{1/n}} \cdot (\frac{\ n+2}{\ n+1})^{n} $ che è uguale a $ \lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{\ |\alpha-1|}{(\log(n))^{1/n}} \cdot (1+\frac{\ 1}{\ n+1})^{n} $ poichè per $n\rightarrow +\infty $ $1/n$ tende a zero $ log(n) \rightarrow 1 $ quindi avremo $ \lim_{n\rightarrow +\infty} \ |\alpha-1|\cdot e $ che converge se e solo se $ |\alpha-1|\cdot e <1 $ ossia se $ -1< (\alpha-1)\cdot e <1 $
ho fatto bene?
allora prima di tutto non è una serie a termini positivi quindi è necessario studiarla in valore assoluto, poi ho pensato di applicare il criterio della radice. quindi avremo:$ \lim_{n\rightarrow +\infty} \ [ \frac{\ |\alpha-1|^n}{\log(n)} \cdot (\frac{\ n+2}{\ n+1})^{n^2}]^{1/n} $ che è uguale a $ \lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{\ |\alpha-1|}{(\log(n))^{1/n}} \cdot (\frac{\ n+2}{\ n+1})^{n} $ che è uguale a $ \lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{\ |\alpha-1|}{(\log(n))^{1/n}} \cdot (1+\frac{\ 1}{\ n+1})^{n} $ poichè per $n\rightarrow +\infty $ $1/n$ tende a zero $ log(n) \rightarrow 1 $ quindi avremo $ \lim_{n\rightarrow +\infty} \ |\alpha-1|\cdot e $ che converge se e solo se $ |\alpha-1|\cdot e <1 $ ossia se $ -1< (\alpha-1)\cdot e <1 $
ho fatto bene?
Risposte
Ciao cechuz,
Il risultato è corretto, ma non è corretto qui:
Spiegami un po' meglio perché si ha:
$\lim_{n \to +\infty} (log(n))^{1/n} = 1 $
Il risultato è corretto, ma non è corretto qui:
"cechuz":
poichè per $n \to +\infty $ $1/n $ tende a zero $log(n) \to 1 $ quindi [...]
Spiegami un po' meglio perché si ha:
$\lim_{n \to +\infty} (log(n))^{1/n} = 1 $
ciao pilloeffe! in realtà riscriverei quasi la stessa cosa: perchè per $ n\rightarrow +\infty$ la frazione all'esponente tende a zero ( è un'infinitesima) quindi l'argomento della potenza tende a 1
Infatti era come pensavo... 
$ \lim_{n \to +\infty} (log(n))^{1/n} $
conduce alla forma indeterminata $(\to +infty)^{\to 0} $: come fai a dire che il risultato di quel limite è $1$?
In effetti risulta $1$, ma perché?
$ \lim_{n \to +\infty} (log(n))^{1/n} $
conduce alla forma indeterminata $(\to +infty)^{\to 0} $: come fai a dire che il risultato di quel limite è $1$?
In effetti risulta $1$, ma perché?
hai ragione! ora mi viene in mente l'identità, quindi ti direi che $ \lim_{n \to +\infty} (log(n))^{1/n} $ è uguale al $ \lim_{n \to +\infty} e^{log(n)^{1/n} } $ che è uguale al $ \lim_{n \to +\infty} e^{1/n\cdot log(n) } $ e $ \frac{ log(n)}{n}\ \rightarrow 0 $ perchè per $ n\rightarrow +\infty, log(n)< n $
quindi il limite è uguale a 1, corretto?
quindi il limite è uguale a 1, corretto?
L'idea è corretta, ma la scrittura è sbagliata: $(\ln n)^{1/n}=e^{\frac{1}{n} \ln (\ln n)}$
si vero ho sbagliato a scrivere 
, grazie ad entrambi !
, grazie ad entrambi !
Il limite in questione risulta $1$ perché si ha:
$ \lim_{n \to +\infty} (log(n))^{1/n} = \lim_{n \to +\infty} e^{log(log(n))^{1/n}} = \lim_{n \to +\infty} e^{\frac{log(log(n))}{n}} =$
$ = \lim_{n \to +\infty} e^{\frac{log(log(n))}{log(n)} \cdot \frac{log(n)}{n}} = e^{0 \cdot 0} = 1 $
$ \lim_{n \to +\infty} (log(n))^{1/n} = \lim_{n \to +\infty} e^{log(log(n))^{1/n}} = \lim_{n \to +\infty} e^{\frac{log(log(n))}{n}} =$
$ = \lim_{n \to +\infty} e^{\frac{log(log(n))}{log(n)} \cdot \frac{log(n)}{n}} = e^{0 \cdot 0} = 1 $
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