Convergenza serie
Salve, sono alle prese con lo studio della convergenza di questa serie
\[ \sum_{n=2}^{+\infty }\frac{log(1+\frac{n^a}{log(n)})}{(log(n))^a} \] al variare di a in R
La condizione necessaria dovrebbe esssere sempre verificata.
Per a<0 userei l’asintotico del logaritmo e mi viene fuori una serie armonica generalizzata.
Ma se a>0 non ho nessuna idea...
Grazie in anticipo
\[ \sum_{n=2}^{+\infty }\frac{log(1+\frac{n^a}{log(n)})}{(log(n))^a} \] al variare di a in R
La condizione necessaria dovrebbe esssere sempre verificata.
Per a<0 userei l’asintotico del logaritmo e mi viene fuori una serie armonica generalizzata.
Ma se a>0 non ho nessuna idea...
Grazie in anticipo
Risposte
Ciao luca.b,
Benvenuto sul forum!
Per $a = 0 $ diverge per il criterio del confronto;
per $0 < a \le 1 $ non può convergere perché non è soddisfatta la condizione necessaria di convergenza di Cauchy e quindi diverge;
per $a > 1 $ diverge per il criterio del confronto.
Benvenuto sul forum!
Per $a = 0 $ diverge per il criterio del confronto;
per $0 < a \le 1 $ non può convergere perché non è soddisfatta la condizione necessaria di convergenza di Cauchy e quindi diverge;
per $a > 1 $ diverge per il criterio del confronto.
Per $a>0$ potresti confrontarla con $1/n$:
$\lim_\{n} \frac{\frac{\log(1+\frac{n^a}{\log(n)})}{(\log(n))^a}}{\frac{1}{n}}=\lim_n\frac{n\log(1+\frac{n^a}{\log(n)})}{(\log(n))^a} =\lim_n \frac{n}{\log(n)^a}\cdot \lim_n \log(1+\frac{n^a}{\log(n)})=\infty\cdot \infty=\infty $
Pertanto $1/n=o(\frac{\log(1+\frac{n^a}{\log(n)})}{(\log(n))^a})$ per $n\rightarrow +\infty$, e la serie diverge.
$\lim_\{n} \frac{\frac{\log(1+\frac{n^a}{\log(n)})}{(\log(n))^a}}{\frac{1}{n}}=\lim_n\frac{n\log(1+\frac{n^a}{\log(n)})}{(\log(n))^a} =\lim_n \frac{n}{\log(n)^a}\cdot \lim_n \log(1+\frac{n^a}{\log(n)})=\infty\cdot \infty=\infty $
Pertanto $1/n=o(\frac{\log(1+\frac{n^a}{\log(n)})}{(\log(n))^a})$ per $n\rightarrow +\infty$, e la serie diverge.
Capito, grazie mille!
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