Convergenza Serie
Salve!
Potete darmi una mano con la convergenza di questa serie?
$ sum_(n = 1)^oo (n^e+e^n)/pi ^n $
Essendo una serie a termini positivi ho provato ad usare il criterio della radice per tirar fuori pi-greco dal limite e poi ho provato a combinare insieme il criterio del rapporto ma i conti non tornano! Potete spiegarmi meglio come si svolge e se è giusto applicare in questo caso i suddetti criteri oppure dovrei passare per il confronto/confronto asintotico?
Grazie!
Potete darmi una mano con la convergenza di questa serie?
$ sum_(n = 1)^oo (n^e+e^n)/pi ^n $
Essendo una serie a termini positivi ho provato ad usare il criterio della radice per tirar fuori pi-greco dal limite e poi ho provato a combinare insieme il criterio del rapporto ma i conti non tornano! Potete spiegarmi meglio come si svolge e se è giusto applicare in questo caso i suddetti criteri oppure dovrei passare per il confronto/confronto asintotico?
Grazie!
Risposte
Ciao J*k,
La serie proposta è convergente.
$ sum_{n = 1}^{+\infty} (n^e+e^n)/pi ^n = sum_{n = 1}^{+\infty} n^e/pi ^n + sum_{n = 1}^{+\infty} e^n/pi ^n = sum_{n = 1}^{+\infty} n^e/pi ^n + sum_{n = 1}^{+\infty} (e/pi)^n $
La seconda è una serie geometrica senza il primo termine ($1$, quello che si otterrebbe per $n = 0$) di ragione $e/\pi < 1 $ e pertanto è convergente; la prima è convergente per il criterio del rapporto.
La serie proposta è convergente.
$ sum_{n = 1}^{+\infty} (n^e+e^n)/pi ^n = sum_{n = 1}^{+\infty} n^e/pi ^n + sum_{n = 1}^{+\infty} e^n/pi ^n = sum_{n = 1}^{+\infty} n^e/pi ^n + sum_{n = 1}^{+\infty} (e/pi)^n $
La seconda è una serie geometrica senza il primo termine ($1$, quello che si otterrebbe per $n = 0$) di ragione $e/\pi < 1 $ e pertanto è convergente; la prima è convergente per il criterio del rapporto.
in alternativa io proporrei la seguente dimostrazione, usando il criterio del confronto asintotico.
poichè $n^e+e^n ~~ e^n$ si ha
$sum_(n) (n^e +e^n)/pi^n ~~ sum_(n) e^n/pi^n$ che come già ti è stato fatto notare da @pilloeffe è una serie geometrica di ragione $e/pi < 1$ e pertanto convergente.
poichè $n^e+e^n ~~ e^n$ si ha
$sum_(n) (n^e +e^n)/pi^n ~~ sum_(n) e^n/pi^n$ che come già ti è stato fatto notare da @pilloeffe è una serie geometrica di ragione $e/pi < 1$ e pertanto convergente.
Naturalmente è corretta anche la soluzione proposta da cooper.
Stavo anche riflettendo sul fatto che non è agevole calcolarne la somma, ma è invece piuttosto agevole calcolarne una limitazione superiore, osservando che $n^e < e^n, \AA n $, per cui si ha:
$ sum_{n = 1}^{+\infty} (n^e+e^n)/pi ^n = sum_{n = 1}^{+\infty} n^e/pi ^n + sum_{n = 1}^{+\infty} e^n/pi ^n = sum_{n = 1}^{+\infty} n^e/pi ^n + sum_{n = 1}^{+\infty} (e/pi)^n < sum_{n = 1}^{+\infty} (e/pi)^n + sum_{n = 1}^{+\infty} (e/pi)^n = $
$ = 2 sum_{n = 1}^{+\infty} (e/pi)^n = 2(sum_{n = 0}^{+\infty} (e/pi)^n - 1) = 2(frac{1}{1 - e/pi} - 1) = 2(frac{pi}{pi - e} - 1) = frac{2e}{pi - e}$
Cioè in definitiva si ha:
$ sum_{n = 1}^{+\infty} (n^e+e^n)/pi ^n < frac{2e}{pi - e} $
Stavo anche riflettendo sul fatto che non è agevole calcolarne la somma, ma è invece piuttosto agevole calcolarne una limitazione superiore, osservando che $n^e < e^n, \AA n $, per cui si ha:
$ sum_{n = 1}^{+\infty} (n^e+e^n)/pi ^n = sum_{n = 1}^{+\infty} n^e/pi ^n + sum_{n = 1}^{+\infty} e^n/pi ^n = sum_{n = 1}^{+\infty} n^e/pi ^n + sum_{n = 1}^{+\infty} (e/pi)^n < sum_{n = 1}^{+\infty} (e/pi)^n + sum_{n = 1}^{+\infty} (e/pi)^n = $
$ = 2 sum_{n = 1}^{+\infty} (e/pi)^n = 2(sum_{n = 0}^{+\infty} (e/pi)^n - 1) = 2(frac{1}{1 - e/pi} - 1) = 2(frac{pi}{pi - e} - 1) = frac{2e}{pi - e}$
Cioè in definitiva si ha:
$ sum_{n = 1}^{+\infty} (n^e+e^n)/pi ^n < frac{2e}{pi - e} $
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