Convergenza serie

[Claudia141]

Ciaooo... mi ritrovo questo esercizio:

Si ricerchino i valori di x per i quali la serie Converge.

$\sum_{n=1}^infty (-1)^n [1-ln (1-(1/x))]^(2n) $
So che per convergere la ragione della serie deve essere compresa tra -1 e 1
Però il in tal caso mi confonde quel $(-1)^n $
Cioè lo devo considerare come mia ragione o no??? Voi come procedereste? Grazie a chi mi illuminera

[Anacleto13]

Innanzi tutto procedi verificando se la serie converge assolutamente tramite la formula:$ \sum_{n=1}^infty |a_n|$

[Claudia141]

E successivamente?

[Weierstress]

Hai una serie a segni alterni, puoi usare Leibniz.

[otta96]

Puoi notare che $(-1)^n [1-ln (1-(1/x))]^(2n)=[-(1-ln(1-1/x))^2]^n$, che sai quando converge perché è una serie geometrica, ti rimane solo da risolvere $-1<-(1-ln(1-1/x))^2<1<=>0<=(1-ln(1-1/x))^2<1<=>0<=|1-ln(1-1/x)|<1$, prova da qui a concludere tu.

[Claudia141]

Il - davanti a $(1-log (1-1/x))^2$ che fine fa? Forse per il modulo?

[Claudia141]

Quindi la devo studiare $(1-ln (1-1/x))>=-1$ e $<1$ ????

[pilloeffe]

Ciao Claudia14,

Sì, affinché la serie geometrica sia convergente come sai deve essere

$|-(1-ln(1-1/x))^2| < 1 \Leftrightarrow (1-ln(1-1/x))^2 < 1$ (il modulo si può togliere perché c'è un quadrato che è sempre positivo), per cui resta

$(1-ln(1-1/x))^2 < 1 \Leftrightarrow |1-ln(1-1/x)| < 1 \Leftrightarrow \{(1-ln(1-1/x) < 1),(1-ln(1-1/x) > - 1):} \Leftrightarrow \{(ln(1-1/x) > 0),(1-ln(1-1/x) > - 1):} $

Adesso dovresti riuscire a procedere autonomamente...