Convergenza serie
Devo studiare la convergenza delle seguente serie:
$\sum_(n=1)^{+infty} (a^n)/\sqrt{n}$
Riscrivendo l'argomento come $(a/n^(1/(2n)))^n$
Mi riconduco alla serie geometrica di ragione $q = (a/n^(1/(2n))) = a$
Siccome $lim_(n->+infty) 1/n^(1/(2n)) = 1$
Vorrei sapere dove sbaglio visto che non mi tornano i risultati del libro.
Soprattutto non so se le serie di questo tipo possano essere ricondotte a serie geometriche e se è corretto calcolare la ragione $q$ con il limite che ho utilizzato
$\sum_(n=1)^{+infty} (a^n)/\sqrt{n}$
Riscrivendo l'argomento come $(a/n^(1/(2n)))^n$
Mi riconduco alla serie geometrica di ragione $q = (a/n^(1/(2n))) = a$
Siccome $lim_(n->+infty) 1/n^(1/(2n)) = 1$
Vorrei sapere dove sbaglio visto che non mi tornano i risultati del libro.
Soprattutto non so se le serie di questo tipo possano essere ricondotte a serie geometriche e se è corretto calcolare la ragione $q$ con il limite che ho utilizzato
Risposte
La $a$ è un parametro generico vero?
$$\sum _{n=1}^{\infty \:}\frac{a^n}{\sqrt{n}}$$
In ogni caso può essere risolto anche cosi:
Io utilizzerei il criterio di d'Alembert
$$\lim _{n\to \infty \:}\left(\left|\frac{\frac{a^{\left(n+1\right)}}{\sqrt{n+1}}}{\frac{a^n}{\sqrt{n}}}\right|\right)=\quad \left|a\right|$$
che ci permette di dire che la serie converge per $-1\le \a<1$
$$\sum _{n=1}^{\infty \:}\frac{a^n}{\sqrt{n}}$$
In ogni caso può essere risolto anche cosi:
Io utilizzerei il criterio di d'Alembert
$$\lim _{n\to \infty \:}\left(\left|\frac{\frac{a^{\left(n+1\right)}}{\sqrt{n+1}}}{\frac{a^n}{\sqrt{n}}}\right|\right)=\quad \left|a\right|$$
che ci permette di dire che la serie converge per $-1\le \a<1$
Beh ma il risultato è lo stesso, mi sa che siano sbagliati i risultati del libro allora
Può darsi [emoji1]
Amarildo φ
Amarildo φ
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