Convergenza serie

[Frasandro]

Ciao a tutti,

ho un dubbio sullo svolgimento di questa serie, esempio svolto sul libro di analisi: $ sum_(n =0)^oo 4^n/(n!)(4n)^n $

riporta questi passaggi: $ lim_(n -> oo ) (4^n*4^n*n^n)/(n!)=+oo $ e quindi diverge. Non capisco questo passaggio $(4^n*4^n*n^n)$

[billyballo2123]

Ciao!
\[
\frac{4^n}{n!}(4n)^n=\frac{4^n}{n!}4^n n^n=\frac{4^n4^nn^n}{n!}\sim \frac{4^n4^nn^n}{n^ne^{-n}\sqrt{2\pi n}}=\frac{4^n4^ne^n}{\sqrt{2\pi n}}.
\]

[Frasandro]

no, non ci sono...

[billyballo2123]

Cosa non ti è chiaro?

[Frasandro]

i passaggi in cui spunta $e$ ....

[billyballo2123]

Quella è la formula di Stirling. È Abbastanza famosa e trovi la dimostrazione (bella lunga) in internet. In pratica si ha che
\[
n!\sim n^n e^{-n}\sqrt{2\pi n}
\]
(per $n\to+\infty$ ovviamente).

[Cmax1]

In realtà per dimostrare la divergenza è sufficiente notare che $\frac{n^n}{n!} = \frac{n \cdot n \cdot ... \cdot n}{1 \cdot 2 \cdot ... \ cdot n} = n \cdot \frac{n}{2} \cdot ...\cdot \frac{n}{n-1} \cdot 1 \ge n$. La formula di Stirling ti permette di capire come diverge.

[Frasandro]

scusatemi ma ho ancora parecchi dubbi su questo argomento....

ecco un altro esempio, della seguente serie devo calcolare il raggio di convergenza: $ sum_(n=1)^oo (4^n*n!)/n^n*x^n $

Innanzitutto, vorrei capire come devo iniziare a scomporla per eventuali semplificazioni

[billyballo2123]

Come prima, sostituendo $n!$ con $n^n e^{-n}\sqrt{2\pi n}$, ottieni
\[
\frac{4^n n^ne^{-n}\sqrt{2\pi n}}{n^n}x^n=\frac{4^n x^n\sqrt{2\pi n}}{e^n}=\bigg(\frac{4x}{e}\bigg)^n\sqrt{2\pi n},
\]
dunque converge se e solo se $|\frac{4x}{e}|<1$, ovvero se e solo se $-e/4

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[Frasandro]

altro esercizio, questa volta una serie numerica.

$ sum_(k=1)^(+oo) (1/(sqrt(n)(1+n))) $. Per studiarne il carattere utilizzo il confronto asintotico.

$ 1/(sqrt(n)(1+n)) ~ 1/(sqrt(n)n) $ . Quindi le 2 serie con termini generali $a_n$ e $b_n$ hanno lo stesso carattere perche' $ lim_(k ->+oo ) (a_n/(b_n))=1 $

Ma la serie $ sum_(k=1)^(+oo) 1/(sqrt(n)n) $ essendo una serie armonica generalizzata diverge quindi, anche la serie di partenza diverge.

Vorrei sapere se e' corretto tutto il ragionamento\procedimento, grazie

[billyballo2123]

Tutto corretto a parte il finale:
\[
\sum \frac{1}{n^{\alpha}}
\]
converge per ogni $\alpha>1$, quindi nel nostro caso essendo $\alpha=3/2$, la serie converge.

[Frasandro]

ops... errore di "distrazione" !