Convergenza serie

[kobeilprofeta]

Salve, avrei bisogno di un aiuto sulla convergenza di queste serie:
1) $sin[(2^n+3^n)^(1/n)-3]$
2) $2^{-sqrt(n)}$

...allora, per la prima non so proprio da dove partire dato che c'è il seno... Per la seconda ho provato ad applicare il criterio della radice, ma mi trovo a dover studiare $(1/2)^{1/(sqrt(n))}$ che comunque non so affrontare...

[Zero87]

"kobeilprofeta":allora, per la prima non so proprio da dove partire dato che c'è il seno...

Non che sia applicabile al caso in questione, ma puoi vedere cosa fa l'argomento.
Se l'argomento tende a zero puoi stimare il seno con l'argomento e studiare la serie degli argomenti: tanto puoi scegliere un $n_0$ grande a piacere per cui ti ritrovi con la stima dal momento che quello che sta prima è pur sempre una somma infinita per quanto ci possono stare taaanti addendi. Bene, l'ho detto male.

Per la seconda si potrebbe fare una stima simile, cioè $2^(-sqrt(n))

[kobeilprofeta]

Quindi per il due posso dire che, dato che sono succ sempre positive e $lim frac{2^{-sqrt(n)}}{n^(-2)}=lim frac{n^2}{2^(sqrt(n))}=0$, allora $2^{sqrt(n)}$ è definitivamente minore di $1/(n^2)$ che converge... Ok

[Zero87]

"kobeilprofeta":Quindi per il due posso dire che, dato che sono succ sempre positive e $lim frac{2^{-sqrt(n)}}{n^(-2)}=lim frac{n^2}{2^(sqrt(n))}=0$, allora $2^{sqrt(n)}$ è definitivamente minore di $1/(n^2)$ che converge... Ok

Lo penso anch'io, ma non so/non ricordo se vale anche per le successioni oltre che per le funzioni.

[kobeilprofeta]

Per il primo studio $(2^n+3^n)^(1/n)=3*(1+(2/3)^n)^(1/n)=3e^(1/n*log(1+(2/3)^n))$ che è asintotico a $3*(1+1/n*(2/3)^n)-->3$. Da cui l'argomento del seno tende a 0(87) e quindi tutta la successione si comporta come se non ci fosse il seno... Ho detto bene?


Ps: quello di prima vale anche per le successioni.

[Zero87]

"kobeilprofeta":Da cui l'argomento del seno tende a 0(87) e quindi tutta la successione si comporta come se non ci fosse il seno... Ho detto bene?

Questa è la mia idea; se l'argomento tende a zero, il seno è asintotico allo stesso. Troppo forte il 0(87) .

Ps: quello di prima vale anche per le successioni.

Ricordo qualcosa di giusto, meglio così.

[Camillo]

Primo esercizio , mi sembra manchi $-3 $ nell'argomento del seno , da tenere in considerazione... poi perché 0.87 ?

Edit : ho riletto il tuo post e mi sembra corretto , non hai dimenticato il $-3$ il che fa tendere a $0 $ l'argomento del seno il che vuol dire che puoi approssimare la funzione $sin alpha $ con il suo argomento cioè $alpha $.
Quindi il termine $a_n $ della serie è infinitesimo per $n rarr +oo$ ma come ci va a zero, cioè con quale velocità ? cosa essenziale per determinare se la serie converge o no

[kobeilprofeta]

[ot]0(87) era per il nickname...[/ot]
...comunque va a zero come $(2^n+3^n)^(1/n)-3=e^(1/n*log(2^n+3^n))-3$. Ora studio l'esponente: $1/n*log(2^n+3^n)~1/n*log(3^n)=log 3$... ma non ho risolto nulla...

[Rigel1]

"kobeilprofeta":
...comunque va a zero come $(2^n+3^n)^(1/n)-3=e^(1/n*log(2^n+3^n))-3$. Ora studio l'esponente: $1/n*log(2^n+3^n)~1/n*log(3^n)=log 3$... ma non ho risolto nulla...

\[
\frac{1}{n} \log(2^n + 3^n) - \frac{1}{n}\log(3^n) =
\frac{1}{n}\log\left[1+\left(\frac{2}{3}\right)^n\right] \sim \ldots
\]

[kobeilprofeta]

$1/n*log(2^n+3^n)=1/n*[log (3^n)+log(1+(2/3)^n)]$\[\sim\]$\frac{n*log 3}{n}+frac{(2/3)^n}{n} to log 3$... Credo di non aver capito...

[Rigel1]

"kobeilprofeta":$1/n*log(2^n+3^n)=1/n*[log (3^n)+log(1+(2/3)^n)]$\sim$frac{n*log 3}{n}+frac{(2/3)^n}{n} to log 3$... Ok?

Sì, ma non ti serve a molto (se non a dire che il termine generale della serie tende a \(0\)).
Devi determinare l'andamento asintotico del termine generale della serie; per quanto già detto, è sufficiente determinare l'andamento asintotico dell'argomento del seno.
Posto \(a = 2/3\), l'argomento del seno è
\[
3[(1+a^n)^{1/n} -1] = 3 [ \exp(\frac{1}{n}\log(1+a^n)) -1 ] \sim \frac{3}{n}\log(1+a^n) \sim 3\, \frac{a^n}{n}\,.
\]

[kobeilprofeta]

Okok