Convergenza serie

[francomorelli95]

scusate, dovrei studiare la convergenza di questa serie
somme di n da 1 ad infinito di (2^(1-2n)(n^2-1))/(n^2(3^n+arctg(n)+1))

io ho trovato che converge perché semplificando ottengo che è asintoticamente equivalente ad (1/4)^n/(3^n+n+1)
e siccome -1<(1/4/3)^n<1 allora converge...vorrei sapere se è giusto

[Noisemaker]

"franck":scusate, dovrei studiare la convergenza di questa serie
somme di n da 1 ad infinito di $(2^(1-2n)(n^2-1))/(n^2(3^n+arctg(n)+1))$

io ho trovato che converge perché semplificando ottengo che è asintoticamente equivalente ad (1/4)^n/(3^n+n+1)
e siccome -1<(1/4/3)^n<1 allora converge...vorrei sapere se è giusto

Per la serie
\[\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2^{1-2n}(n^2-1)}{n^2\left(3^n+\arctan n+1\right)}=2\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{ n^2-1 }{4^{ n }n^2\left(3^n+\arctan n+1\right)},\]
si può osservare anzitutto che è a termini positivi, per cui si possono applicare i criteri di convergenza relativi; in questo caso il confronto asintotico è il più conveniente: a numeratore
\[n^2-1\sim n^2\]
mentre a denominatore
\[4^{ n }n^2\left(3^n+\arctan n+1\right)\sim 4^{ n }n^2\left(3^n+\pi/2+1\right)\sim 4^{ n }n^2 3^n =12^{ n }n^2;\]
allora il termine generale della serie si comporta come
\[\frac{2^{1-2n}(n^2-1)}{n^2\left(3^n+\arctan n+1\right)}\sim\frac{ n^2 }{12^{ n }n^2 }=\left(\frac{ 1 }{12 }\right)^{ n },\]
che dovrebbe essere una serie a te nota...

[francomorelli95]

grazie 1000 ...allora avevo fatto quasi bene

[francomorelli95]

scusa, perché non è come avevo fatto io al denominatore?
ovvero (4^n)(n^2)(3^n+n+1)

[Noisemaker]

come si comporta la successione $\arctan n$ quando $n\to+\infty$?

[francomorelli95]

ok grazie e scusa il fastidio